CODERLIHAO
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复数的基本概念

复数域

实数x与y分别称为复数z的实部和虚部，记作

虚部为零的复数就可以看作实数，虚部不为零的复数称为虚数

复数运算
z_1\pm z_2=(x_1\pm x_2)+i(y_1\pm y_2)\\ z_1 z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)\\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{(x_1x_2+y_1y_2) + i(x_2y_1-x_1y_2)}{x^{2}_{2}+y^{2}_{2}},z_2\neq0

复平面

复数的基本概念_第1张图片
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复数的基本概念_第2张图片
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复数的模与辐角

我们知道，任一非零复数z有无穷多个辐角，今以arg z表示其中的一个特定值，并称合条件

的一个为Arg z的主值，或称之为z的主辐角。

当z=0时，辐角无意义。

单位复数

当r=1时，有

称为单位复数。

复数的指数形式

也就是说，任一非零复数z总可以表成

复数乘法与旋转

所以两个复数相乘相当于模相乘，辐角相加,相除就是模相除，辐角相减

复数的基本概念_第3张图片
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特别的我们拿i乘以一个复数

复数的基本概念_第4张图片
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复数的乘幂与方根


当r=1,就是棣莫弗公式

所以z的n次方根为

把上面的式子改为

复数的基本概念_第5张图片
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复数乘法与矩阵

假设复数 p = a+bi，乘上复数q=r\cos \theta +i r\sin\theta\\ pq=ar\cos\theta-br\sin\theta+(ar\sin\theta + br\cos\theta)i=a^{'}+b^{'}i\\ 用矩阵表示\\ \left[ \begin{matrix} a^{'}\\ b^{'} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\\ \end{matrix} \right]\cdot\left[ \begin{matrix} ar\\ br \end{matrix} \right]

https://www.youtube.com/watch?v=lKIBFLQZZUk

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