数据结构笔记 -01线性表

线性表的定义

结构：

1. 线性结构： 结构中的数据元素之间均满足线性关系（一对一）。

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2. 由若干个数据项组成的数据元素，称为记录；含有大量记录的线性表称为文件；同一线性表中的元素必须属于同一对象。
3. 线性表：n个数据元素的有限序列 数据元素/结点：原子类型或结构类型 线性表长度：线性表中元素个数n 位序：各线性元素都有一个确定的位置，即位序
非空线性表通常记作：（a1,a2,……a i,a i+1,……a n），a1:开始结点、表头结点，a n：终止结点、表尾节点

抽象数据操作：

1. 线性表的抽象数据类型定义-创建删除：

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DestroyList(&L):释放掉表中的存储空间；ClearList(&L):将线性表恢复到空表状态，未释放存储空间。
2. 线性表的抽象数据类型定义-查找：

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ps：LocateElem:用指针的目的是提高操作的通用性
3. 组合的复杂操作：
①两线性表的合并

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当找到与e相同的，则返回满足equal（）关系的元素的位序，否则返回0。
算法实现：

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②归并有序线性表

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算法思路：先比较A、B两线性表中的第一个元素，将较小的那一个取出放入新线性表C；再比较A、B两线性表的元素，将较小的那一个取出放入新线性表C；重复此操作，直至A或者B的元素个数为0了，将剩下的表里面的元素全部插至C的末尾。

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算法实现：

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ps：线性表中的元素有序排列，可提高归并算法的时间效率。

顺序表

顺序表的存储结构

1. 线性表的顺序表示：把线性表的结点按逻辑顺序依次存放在一组地址连续的存储单元里。
2. 存储结构：只要知道了线性表中第一个元素的存储位置（基地址），那么线性表中任意一个元素，如第i个元素即可根据式子计算。

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3. 线性表的动态分配线性存储：顺序表SqList类型是结构体类型，由三个域组成。Elem指针域用来指示顺序表的基地址；length域用来存储当前表长；listsize用来存储线性表当前最大存储容量。（length域和listsize以元素个数为单位）

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顺序表基本操作的实现

1. 创建空线性表
算法思路：先分配一块存储空间；让Elem指针域指向它的基地址；将length域的值置为0

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算法实现：

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函数返回值Status类型是Int类型的别名，可以用OVERFLOW、OK等常量来代表函数执行结果的不同状态
2. 顺序表的插入
ListInsert将在第i个元素和第i-1个元素之间插入新元素；为防止元素被覆盖，元素搬动顺序应为由后往前搬动，如图。

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注意：

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算法实现：
realloc：按新的容量分配新的存储空间，并将原来空间里的数据拷贝到新的空间里，释放掉原来的空间。
若空间分配成功，相应地修改基地址指针域L.elem和存储容量域L.listsize

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3. 顺序表的删除

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注意：

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算法实现：

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4. 插入和删除操作的算法分析
最好和最坏情况下时间复杂度的分析：

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平均情况下移动元素次数的期望：

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总结：顺序表的插入和删除操作的时间复杂度都是O(n)；缺点：在平均情况下，需要移动的表中元素为表中元素的一半，当顺序表长n很大时，耗费较大。
5. 顺序表的查找
按位序查找（GetElem）：时间复杂度O(1)
按内容查找（LocateElem）：从顺序表的第一个元素逐一比较

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ps：*（p++）指先比较p指向的元素和e的大小，再将p++；时间复杂度为O(n)。
6. 归并有序的顺序表
算法实现：

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ps：加入红色部分则实现并集操作
7. 顺序表的优缺点

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线性链表

线性表（链表）的链式存储

1. 链表的链式存储结构： 用一组任意的（可连续、也可不连续）存储单元来存储线性表的数据元素。
节点包含两种信息域：1）数据域：存储数据元素的信息 2）指针域：存储数据间的逻辑链接信息
2. 分类
按连接方式分类

• 线性链表（单链表）
• 循环链表
• 双向链表
  按实现方式分类
• 静态链表
• 动态链表

线性链表

线性链表的动态链式存储：单链表

1. 结构特点： 链表中每个节点只包含一个用来指示直接后继的指针域。（如老鹰捉小鸡的小鸡）
2. 头指针： 用来指示链表第一个结点的存储位置

3. 最后一个结点的指针域为NULL

   
   
   

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4. 假设L为单链表的头指针，则L应为LinkList型变量。当L=NULL时，该链表为空表
5. 头结点：在表的第一个结点之前附设一个结点，其next域指向第一个元素结点，其data域可以不储存任何信息，也可以用于储存表长等附加信息。带头结点的单链表中，当头结点的next域为空时，该链表为空表
6. 带头结点vs不带头结点：

• 不带头结点的单链表：执行添加操作时，若添加的结点在第一个节点之前，则需要修改头指针；执行删除操作时亦是如此。
• 带头结点的单链表
  ①单链表的查找（按位序查找）：在单链表中，要读取第i个数据元素，必须从头指针L出发，先找到表中的第一个结点；再顺藤摸瓜，依次查找。
  具体操作：
  
  

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  该操作的时间复杂度为O(n)，在顺序表中只需要O(1)。
  ②单链表的插入：如果要将新元素e插入到第i个元素之前，则首先需要找到表中的第i-1个结点，然后把辅助指针p指在第i-1个结点上；若需要插入在第一个结点之前，则只需把p指在头结点上。
  具体操作：动态分配一个新节点，用s指针指向这个新结点；将新元素e写入这个结点；修改新结点的next指针域，让它指向表中第i个结点；修改p的next指针域，使它指向新插入的那个结点。
  
  

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  顺序不能替换
  语言描述：
  
  

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  ③单链表的删除：如果要删除第i个元素，则先将辅助指针p定位到第i-1个结点上，即被删除结点的直接前驱；此外，还需要引入一个辅助指针q用来指向被删结点；然后，修改第i-1结点的next指针，使其指向被删结点的直接后继；再将被删结点的值赋值给引用参数e；最后，释放掉被删结点，即q所指的结点。
  
  

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  ？是否可以不引入辅助指针q：若不引入，则被删结点无法被free掉，它将成为系统中的太空垃圾，一直占用着这部分的存储空间，直到程序运行结束才会被释放，可能造成内存泄露的隐患。
  具体操作：
  
  

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  ④单链表的创建：链式存储结构与顺序存储结构的最大区别在于，它是动态结构，链表所需的空间不必提前估算并分配，只需要按需实时动态分配或释放即可。因此，建立单链表的过程即是从空链表开始，依次生成各个结点，并逐个插入到链表的过程。
  具体操作：
  （1）该算法建立的是从表尾到表头逆向建立单链表
  
  

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  （2）建立的是从表头到表尾正向建立单链表
  首先，增设一个表尾指针T，初始令其指向头结点；其次，将插入的位置改为插入到表尾节点之后；在每次插入后，修改T指针，使其每次指向新插入的那个结点。
  
  

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  ⑤归并俩有序单链表：拆东墙补西墙，没有分配任何其他的结点空间，而是将原来的单链表重新分解开，按照数值大小连接成新的单链表。
  
  

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线性链表的静态链式存储：静态链表

1. 定义： 在实际开发中，可能会遇到不方便使用指针或动态分配的情况，比如没有提供指针类型的编程语言，此时，可以采用一维数组来描述链表，这种实现的方法称为静态链表。
2. 结构特点： 预先分配一个较大的数组空间，数组中的元素有俩域，data域用来存储结点的数据，cur域称为游标或指示器，用来存储后继结点在数组中的下标。

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游标cur用结点在数组中的相对位置来代替结点在内存中的绝对位置（即指针），因此，静态链表中的元素存储位置可以是任意的，插入和删除时不需要移动元素，只需要修改游标；但缺点是，它与顺序表一样，需要提前分配一块存储空间，闲置的结点空间会杂乱地分布在数组中。
为了再利用这些空闲空间，可以利用cur域，将这些空闲的单元链接成一条备用链。

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因此，整个存储空间中有两条链表，一条是用来存储线性表的静态链表，另一条是空闲结点构成的备用链表。可以约定将数组下标为0的单元用作备用链表的头结点，另外设置变量S来存储链表的头指针。可以用cur域的值为0来表示该结点是表尾节点。
3. 带头结点的静态链表的操作
①按内容查找：根据cur域在表中顺链查找

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②初始创建静态链表：以space[0]作为头结点

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③插入结点时：若备用链表第一个结点非空，则删除备用链表的第一个结点，将其下标返回给插入算法，并将其作为待插入的新结点；反之，若备用链表已空（space[0].cur==0），则返回的是0，表示分配空间失败。

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④静态表中free的实现，即就是将被删掉的结点回收入备用链表：将被删结点插回备用链表表头，即插入在头结点space[0]之后。

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4. 静态链表的优缺点
兼具顺序存储和链式存储的部分特点，主要为不支持指针类型的编程语言提供了实现线性链表的方法。

• 优点：插入和删除操作时，只需要修改游标，不需要移动元素。
• 缺点：和顺序表一样，需要提前分配大块连续存储空间，无法解决难以确定合适存储规模的问题；失去顺序存储结构随机存取的优势，只能顺序存取。

实例

1. 集合运算的实现

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思路：1）先依次输入集合A中的各个元素，正序建立表示集合A 的静态链表S，并且用辅助指针r指向集合A中的最后一个结点；而后，每输入一个集合B的元素，b j+1（j的取值从0开始）。 2）在链表S中进行查找，最多查找到指针为r的结点即可。 3）如果存在与b j+1相同的结点，则从S中删除这个结点，否则，就把b j+1插入到r所指的结点之后。（集合B逆序排列在r所指结点之后）

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循环链表和双向链表

循环链表

1. 导言： 在实际生活中，我们往往需要遍历线性表，即需要逐一对表中的某结点做一些操作。
若我们需要按一定规律，逐一对线性表中的各个结点进行某种操作（称为访问），使得某个结点均被且只被访问一次。而该种操作用单链表实现，则只能从头指针开始。
2. 循环链表定义： 表中最后一个结点的指针域指向头结点，整个链表形成一个环。
3. 特点： 从表中的任意一个结点出发，都能遍历所有结点。与线性链表操作基本一致，差别在于算法中的循环终止条件不是“p或p->next为空”，而是他们是否等于头指针或起点。
4. 与单链表的区别：
在单链表中，如果只设置头指针，访问表头结点，仅需要O(1)时间，但访问表尾结点，则需要O(n)时间，若要提高表尾结点的访问效率，就得增设尾指针。
而对于循环链表中，设置尾指针而不设置头指针，就可以做到访问表头和表尾结点都只需要O(1)时间。
5. 两线性链表的头尾相接（合并）： 当需要做到两线性链表头尾相接，合并成一个表时，采用循环链表结构，只需要修改两个指针值，仅需要O(1)时间。
具体操作：1）先设置两个辅助指针p和q，分别指向俩循环链表的头结点； 2）修改表A的表尾结点指针，使其指向表B的表头结点； 3）修改表B的表尾结点指针，使其指向表A的头结点； 4）释放掉表B的头结点。

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双向链表

1. 导言： 由于单链表只有一个指向后继结点的指针的特点，若用单链表找直接后继仅需O(1)的时间，但要找直接前驱，则需O(n)的时间。为解决这个麻烦，诞生了双向链表，在双向链表中，NextElem和PriorElem都仅需O(1)时间。
2. 双向链表定义： 链表的每个结点有两个指针域，一个指向直接后继，另一个指向直接前驱。（即小盆友手牵手排成一列）
3. 类型定义： 在单链表的基础上多了一个用来指向直接前驱的prior指针域。
4. 存储结构：

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5. 带头结点的双向循环链表：

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这样，循环链表就同时具有了两个方向的环路。当双向循环链表为空时，只有一个头结点，且头结点的next和prior都指向自己。
6. 带头结点的双向循环链表的操作
①ListLength、GetElem和LocateElem只需要涉及一个方向的指针，和单链表一致。
②插入：将指针s所指的新结点插入到p指向的结点之前，无需引入其他的指针。
具体操作：1）令要插入的那个新结点的s指针的前驱指向p指向结点的前驱 2）令p指向的结点的前驱结点的next指针指向新结点 3）令新结点的next指针指向p所指的结点 4）令p所指向结点的prior指针指向新结点

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？这四个步骤的顺序可以任意调换吗？ 答：步骤四不能早于步骤一
具体算法实现：

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③删除：删除p指向的结点，也无需引入辅助指针。
具体操作：1）使目标结点的前驱结点的next指针指向目标结点的后继 2）令目标结点的后继结点的prior指针指向目标结点的前驱 3）释放掉目标删除结点

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顺序可对换
具体算法实现：

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顺序表与链表的比较

（图片为网络课程自截，侵删）