高中数学之纲:依葫芦画瓢学习「函数思想」

标签: 高中数学 高考真题 解三角形 函数思想

「函数思想」,是高中数学基本思想之一,用途广泛。然而,学生在学习过程中,常有这种感受:书上的例题能看懂;但自己解题,就是“没有思路”。

本文尝试用一种简单而古老的方法克服这一难题:让学生从具体问题入手,从模仿开始,先模仿再创新,从特殊到一般,掌握这一重要思想及工具。

现以一道高考真题为例,说明函数思想的应用方法。


2013年理科数学全国卷B 题17(本题满分12分)

的内角的对边分别为 ,已知

(I)求 ;

(II)若 ,求 的面积最大值.


【解答第1问】

先解决第1问。这是一个比较基础性的问题。由射影公式可知:

结合本题已知条件可得:

所以,

【第2问的分析与解答】

相对第1问而言,第2问的难度要高一个层次。很多学生的苦恼是“没有思路”。我们现在用“自问自答”的方式来演示:如何寻找解题思路?以下用Q代表问题,用A代表回答。

: 哪些量是已知的,不变的?

: 三角形的底边是已知的不变量();三角形的顶角也是已知的不变量(). 由于 不变,所以, 也是已知的不变量。

根据正弦定理,可以求出三角形的外接圆半径。所以,外接圆半径 也是已知的不变量。


: 哪些量在变化?待求的是哪个量?

: 三角形的两个内角()在变化中,这两个角的对边也在变化中。三角形的面积和周长也在变化中。本题所求是面积的变化范围。

: 变化的量之间存在什么关系?变化量与不变量之间存在什么关系?变化的范围如何?

: 三角形的两个内角()在变化中,但这两个角之和却是一个已知的不变量:,而它们的差却是在变化中,显然,两个角的取值范围是:. 从另一方面考察,三角形的两条边()也在变化中,在变化中,三条边满足以下关系:.

三角形的面积(和周长)随着以上这几个量的改变而改变。关于三角形的面积,我们有以下公式:



结合前面关于变化量与不变量的分析,可以从两个方向寻求突破:

(1)三角形的面积随着之值的变化;所以,从 到面积 之间存在映射关系,面积 是的函数。这种关系可以记作:,或者:.

(2)三角形的面积随着两内角的正弦的乘积的变化而变化;所以,从 到面积 存在映射关系,面积 是 的函数. 令 这种关系可记作: ,或者:.

显然,如果落实了 或者 的变化范围,面积的变化范围也就知道了。这是下一步需要解决的问题。对这两个变化量的探求,构成了两条解决思路。


: (思路一) 的值随哪些量改变?有哪些定理可以把这个变化量和不变量关联起来?函数关系是什么样的?

: 应用积化和差公式可以实现变化量与不变量的沟通:

由前面的分析可知:,是已知的不变量。假如我们引入一个新的记号:, 则存在以下映射关系:

也就是说:三角形面积是 的函数。这个函数的解析式为:

代入具体数值,可化为:

,函数的定义域为:

因此,当 时,函数取最大值: .


: (思路二) 的值随哪些量改变?有哪些定理可以把这个变化量和不变量关联起来?函数关系是什么样的?

: 注意余弦定理的表达式:,这个公式中出现了 ,而 和 是已知的不变量。所以,这个公式提供了一个解决问题的方向。

关于 与 这两边的平方和,有两个完全平方公式:

该用哪一个呢?可以从另外一个角度考虑。根据前面的分析。三角形的外接圆半径是已知的不变量。而圆周角具有这样的性质:同一段圆弧所对的圆周角等于圆心角的一半。所以,在 两点固定不变的前提下,在外接圆上任取一点,所得三角形均满足题设条件。其中,面积最大的是一个等腰三角形(与两边相等时,三角形的高达到最大值)。

再回到代数的角度,对余弦公式作变形:


在以上公式中,除了 ,其它都是不变的已知量。所以,面积的大小取决于 的值,也就是:

这是一个函数关系。若令 ,则函数解析式为:

代入具体值并化简可得:

当 时,面积取最大值:

【提炼与提高】

以上,我们用“自问自答”的形式,步步为营,回答了这个问题:解题思路从哪里来?这种自问自答的方式具有通用性,可以用于解决类似的问题。读者不妨自己尝试。具体说来就是:把本题中的几个Q抄下来,遇到类似的问题,就用“自问自答”的方式找思路。

本题我们提供了两种解决思路。显然,思路一显得更简洁一些;思路二则略显复杂。但从锻炼思维的角度考虑,思路二也是大有益处的。尤其对于刚进入高中的学生来说,需要完成一个思维习惯的转变:看到一个公式,不要着急把具体的数值代入,也不要纠结于具体值是3还是2,而要思考这样的问题:这是变量还是不变量?是已知量还是未知量?如果是变量,它与哪些量存在关联?

本题的解答还有一个特色是:数形结合,先猜后证。从平面几何的角度,我们其实可以得出结论:两条边相等时,三角形面积达到最大值。用三角函数推导出的结论与平面几何完全一致。这样就可以放心大胆地作答了。假如用三角函数推导出的结论与平面几何不一致,就马上检查。

有很多学生在归结丢分原因时,都会遇到一个“顽疾”:粗心大意。其实,在考试状态下,人人都会犯错误。高手之所以能够避免错误,并不是因为他的推导从不出错,而是因为:他能够从多个角度看问题,用巧妙的方法进行验算。


你可能感兴趣的:(高中数学之纲:依葫芦画瓢学习「函数思想」)