平衡二叉树（AVL树）
文章目录
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- 一、平衡二叉树概述
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- 1.1 什么是平衡二叉树
- 1.2 为什么要有平衡二叉树
- 二、平衡二叉树的操作
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- 2.1 左旋转
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- 2.1.1 需要左旋转的情况
- 2.1.2 左旋转步骤
- 2.1.3 左旋转代码实现
- 2.2 右旋转
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- 2.2.1 需要右旋转的情况
- 2.2.2 右旋转步骤
- 2.2.3 右旋转代码实现
- 2.3 双旋转
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- 2.3.1 需要双旋转的情况
- 2.3.2 双旋转步骤
- 2.3.3 双旋转代码实现
一、平衡二叉树概述
1.1 什么是平衡二叉树
平衡二叉树也叫 AVL 树。平衡二叉树是具有以下特点的二叉查找树：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1， 并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。
 图一 平衡二叉树 |
 图二 非平衡二叉树 |
1.2 为什么要有平衡二叉树
在上一篇文章 二叉排序树 中对二叉排序树做了介绍。
我们知道二叉排序树是结合了数组和链表的优点的一种数据结构，它在增删节点效率还不错的同时还有具有很好的查询效率。
但是对于下面这样的二叉排序树：
它的左子树为空，从形式上看更像是一个链表。虽然它在插入、删除速度上依然很快，但是查询的速度却和链表一样甚至更慢（因为还需要判断有无左子树）。这样的二叉排序树显然丧失了最大的优点。
我们可以对它改造，将其改造成平衡二叉树：
可以看到，在不改变二叉树元素的前提下，新的二叉树的查询速度得到了有效提升。
这就是平衡二叉树的意义。
二、平衡二叉树的操作
2.1 左旋转
2.1.1 需要左旋转的情况
当根节点的右子树高度减去左子树高度大于 1 时，需要左旋二叉树。
对于下面这样的二叉树：
我们可以看出来，它的左子树的高度比右子树的高度少 2。
我们可以通过将其左旋转使其变成下面这样的平衡二叉树：
2.1.2 左旋转步骤
左旋转的基本步骤如下：
- 首先创建一个新节点 ，该节点的值设为根节点的值；
- 新节点的左指针指向根节点的左子树；
- 新节点的右指针指向根节点的右子节点的左子树；
- 将根节点的值设置为根节点的右子节点的值；
- 根节点的左指针指向新节点；
- 根节点的右指针指向其右子节点的右子树。
左旋转过程图解如下：
2.1.3 左旋转代码实现
左旋转的代码实现如下，该函数是节点类的成员函数：
// 以当前节点为根节点将二叉树左旋
public void leftRotate(){
// 1. 新建一个节点，值为根节点的值
AVLNode newNode = new AVLNode(this.value);
// 2. 新节点的左指针指向根节点的左子树
newNode.left = this.left;
// 3. 新节点的右指针指向根节点的右子树的左子树
newNode.right = this.right.left;
// 4. 将根节点的值改为其右子节点的值
this.value = this.right.value;
// 5. 根节点的左指针指向新节点
this.left = newNode;
// 6. 根节点的右指针指向其右子节点的右子节点
this.right = this.right.right;
}
2.2 右旋转
2.2.1 需要右旋转的情况
当根节点的左子树高度减去右子树高度大于 1 时，需要右旋二叉树。
如下图图左的二叉排序树，其根节点左子树的高度比右子树大 2，将其右旋转之后，新的二叉树的搜索效率有效提升。
2.2.2 右旋转步骤
将二叉树右旋转基本步骤如下：
- 首先创建一个新节点，新节点的值设为根节点的值；
- 新节点的右指针指向根节点的右子树；
- 新节点的左指针指向根节点的左子节点的右子树；
- 将根节点的值设为其左子节点的值；
- 根节点的左指针指向其左子节点的左子树；
- 根节点的右指针指向新节点。
二叉树右旋转过程与左旋转类似，可以参照左旋转的步骤图来理解。
2.2.3 右旋转代码实现
右旋转的代码实现如下，该函数是节点类的成员函数：
// 以当前节点为根节点将二叉树右旋
public void rightRotate(){
// 1. 新建一个节点，值为根节点的值
AVLNode newNode = new AVLNode(this.value);
// 2. 将新节点的右指针指向根节点的右子树
newNode.right = this.right;
// 3. 将新节点的左指针指向根节点的左子树的右子树
newNode.left = this.left.right;
// 4. 将根节点的值改为其左子节点的值
this.value = this.left.value;
// 5. 将根节点的左指针指向其左子节点的左子树
this.left = this.left.left;
// 6. 将根节点的右指针指向新节点
this.right = newNode;
}
2.3 双旋转
2.3.1 需要双旋转的情况
前面的两个二叉树进行单旋转（即一次旋转）就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树。但是在某些情况下，单旋转并不能完成平衡二叉树的转换。
上图就是典型的无法通过单旋转变成 AVL 树的情况。图左的二叉排序树经过一次右旋转之后，得到的依然是一个非平衡二叉树。
我们可以看到出现这种问题的原因是：原二叉树在右旋的过程中，新的节点的左指针指向了根节点的左子节点的右子树，而这个左子节点的右子树的高度高于它的左子树，故单旋转之后二叉树没有变成 AVL 树。
如何解决这个问题呢？
我们可以在对原二叉树右旋之前，将其左子树（以 7 为根节点的树）进行一次左旋即可。
也就是说，针对这种情况的二叉排序树，需要进行双旋转才会变成 AVL 树。
2.3.2 双旋转步骤
双旋转是基于单旋转（左旋、右旋）的，其只是对单旋转的代码调用，通过代码来理解双旋转即可。
双旋转代码的核心思想在于：在创建二叉树的过程中，每次添加新的节点，都要判断一下该二叉树是否需要旋转。
- 如果二叉树需要左旋，则先判断根节点的右子节点的左子树高度是否大于右子树的高度，如果大于则先对根节点的右子树进行右旋，最后再对原二叉树进行左旋；
- 如果二叉树需要右旋，则先判断根节点的左子节点的右子树高度是否大于左子树的高度，如果大于则先对根节点的左子树进行左旋，最后再对原二叉树进行右旋。
2.3.3 双旋转代码实现
双旋转完整代码实现如下：
/**
* @Description 平衡二叉树
*/
public class No2_AVLTree {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {
10,9,11,6,5,7,8};
AVLTree tree = new AVLTree();
for (int i=0; i<arr.length; i++){
// 创建平衡二叉树
tree.addNode(new AVLNode(arr[i]));
}
tree.infixOrder(); // 中序遍历
System.out.println("树的高度为：" + tree.root.getHeight());
System.out.println("左子树高度为：" + tree.root.getLeftHeight());
System.out.println("右子树高度为：" + tree.root.getRightHeight());
}
}
/**
* AVL —— 平衡二叉树
*/
class AVLTree{
AVLNode root; // 根节点
// 中序遍历
public void infixOrder(){
if (root != null){
root.infixOrder();
}else{
System.out.println("二叉树为空！");
}
}
// 添加节点到二叉树中
public void addNode(AVLNode node){
if (root == null){
root = node;
}else{
root.addNode(node);
// 每添加一个节点，就判断一下是否需要旋转
if (root.getRightHeight() - root.getLeftHeight() > 1){
// 如果右子树减去左子树高度大于 1
if (root.right.getLeftHeight() > root.right.getRightHeight()){
// 判断是否要双旋转
root.right.rightRotate(); // 根节点的右子树右旋
}
root.leftRotate(); // 左旋
}
if (root.getLeftHeight() - root.getRightHeight() > 1){
// 如果左子树减去右子树高度大于 1
if (root.left.getRightHeight() > root.left.getLeftHeight()){
// 判断是否要双旋转
root.left.leftRotate(); // 根节点的左子树左旋
}
root.rightRotate();
}
}
}
}
/**
* 节点类
*/
class AVLNode{
int value; // 节点的值
AVLNode left; // 指向左子节点
AVLNode right; // 指向右子节点
public AVLNode(int value){
this.value = value;
}
// 添加结点
public void addNode(AVLNode node){
if (node.value < this.value){
if (this.left != null){
this.left.addNode(node);
}else{
this.left = node;
}
}else{
if (this.right != null){
this.right.addNode(node);
}else{
this.right = node;
}
}
}
// 中序遍历：左->根->右
public void infixOrder(){
if (this.left != null){
// 先左子节点
this.left.infixOrder();
}
System.out.println(this); // 再根节点
if (this.right != null){
this.right.infixOrder(); // 最后右子节点
}
}
// 求以当前节点为根节点的树的高度
public int getHeight(){
return Math.max(left == null ? 0 : left.getHeight(),
right == null ? 0 : right.getHeight()) + 1;
}
// 获取以当前节点为根节点的左子树高度
public int getLeftHeight(){
if (this.left != null){
return this.left.getHeight();
}
return 0;
}
// 获取以当前节点为根节点的右子树高度
public int getRightHeight(){
if (this.right != null){
return this.right.getHeight();
}
return 0;
}
// 以当前节点为根节点将二叉树左旋
public void leftRotate(){
// 1. 新建一个节点，值为根节点的值
AVLNode newNode = new AVLNode(this.value);
// 2. 新节点的左指针指向根节点的左子树
newNode.left = this.left;
// 3. 新节点的右指针指向根节点的右子树的左子树
newNode.right = this.right.left;
// 4. 将根节点的值改为其右子节点的值
this.value = this.right.value;
// 5. 根节点的左指针指向新节点
this.left = newNode;
// 6. 根节点的右指针指向其右子树的右子节点
this.right = this.right.right;
}
// 以当前节点为根节点将二叉树右旋
public void rightRotate(){
// 1. 新建一个节点，值为根节点的值
AVLNode newNode = new AVLNode(this.value);
// 2. 将新节点的右指针指向根节点的右子树
newNode.right = this.right;
// 3. 将新节点的左指针指向根节点的左子树的右子树
newNode.left = this.left.right;
// 4. 将根节点的值改为其左子节点的值
this.value = this.left.value;
// 5. 将根节点的左指针指向其左子节点的左子树
this.left = this.left.left;
// 6. 将根节点的右指针指向新节点
this.right = newNode;
}
@Override
public String toString() {
return "AVLNode{" +
"value=" + value +
'}';
}
}