理解：无穷阶可导与解析函数，泰勒展开与唯一性定理

这里有几个概念：

无穷阶可导函数

泰勒公式

解析函数

泰勒展开

思维的火花瞬间将这几个概念联系起来了，于是窥见了精彩的一幕。

很久以前，就对导数的意义感兴趣

一阶导数是切线，是增减性，是速度

二阶导数是凹凸性，是曲率，是加速度

三阶导数是挠度，是加加速度

之后就很难定义其几何或物理意义了。

可是，泰勒公式是与无穷阶导数想联系的

他告诉我们只要知道一点处足够高阶的导数，就可以将整个函数画出来。

那时，就幻想着这样的哲学问题。部分等于整体。那个想法驱使着我去寻找答案，可是一直求之不得，只得搁置。

但是，现在，我找到了这个联系，经过这么多年的学习后。

在不知第几次翻看复变函数，希望得到深刻理解，希望看到物理的或是几何的图景。

终于，看到了那一丝亮光，几年努力也算是有了结果。

下面就来说明这一想法

解析函数就是无穷阶可导函数

虽然一个是复数中的概念，一个是实数中的，但是由柯西积分公式，高阶导数公式，可以知道解析函数的导数依然是解析函数，也就意味着他是无穷阶可导的函数。

之后的定理则从理论上说明了部分等于整体的奇妙景象。

解析函数唯一性定理

只要一个解析函数在某点及其邻域内是已知的，那么，他就在整个复平面上是已知的，并且他的表示形式是唯一的。

所以将它运用到实数域中去，得到无穷阶可导函数，只要知道他在一点的任意阶导数，那么就可以确定他在整个实数轴上的图像。

于是，实数与复数之间的桥梁就建成了，一些在实数范围内成立的泰勒公式可以直接运用到复数域内，只要这个实变函数在复数域内解析。这也是为什么那些泰勒展开是如此的一致，似乎与数域没有关系。

并且，经由这个定理，还可以得到解析延拓的方法，在部分区域有定义的解析函数可以补充定义，得到复平面上的解析函数，并且表示形式唯一。

这就是解析函数最为奇妙的地方，复数不是实数的简单推广，他有些极为深刻的内容。

后记

我感到很高兴，可以在长时间努力之后解决自己提出的问题，这个问题一度是认为没有意义的，但是终于他是有意义的，而且有些很深的意义。大概这就是学习与探究的快乐。

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更新

之前还是太年轻了，不过也充满探索精神。有时候知道多少都无所谓，缺的就是这一点好奇。

最近在看《数学分析原理》，谁曾想答案竟如此平凡。

解析函数定义为收敛圆内的幂级数，f：C-->R，属于所谓的复变实值函数。

幂级数在收敛圆内是绝对收敛的，于是可以逐项求导，幂级数可以看作是推广了的多项式，逐项求导之后还是收敛的，收敛于解析函数的导数，还是解析函数，于是逐项求导可以不断进行下去，也就有了任意阶导数。

与其说是无穷阶导数，不如说是任意阶导数更合适。

至于实数复数的问题，更像是函数与其限制的关系，在复数域上的解析函数才是完全体，实数域上的幂级数会出现许多奇怪的事情。

还有解析函数的唯一性定理，知道了一点的任意阶导数，其实就将该点邻域内的情况给确定了，至于为什么解析函数就是唯一的，还没去看证明，可能是待定系数法可数个条件，可数个系数，所以结果唯一？

泰勒公式更多的是一种逼近手段，用多项式逼近函数，泰勒公式的要求还蛮高的。由魏尔斯特拉斯逼近定理，只要是连续函数，就可以用多项式去任意逼近了。