2018考研数学微积分强化

内容安排：

（1）极限

（2）一元微分学  （3）一元积分学

（4）多元微分学  （5）二重积分

（6）微分方程      （7）无穷级数

要求：

①记笔记

②背笔记（结构、脉络、例题反复记）

8月31之前，熟稔于心

第一讲  极限

核心考点

（1）定义 4′（试卷头一题）

（2）性质 4′

（3）计算 10′（大题考点）重点

（4）应用 4′ （连续与间断）

一、极限定义与性质

1.函数极限

4句话

2.数列极限

4句话

3.唯一性

考点：左右极限

4.局部有界性

定理

5.局部保号性

定理（脱帽法）（前后都没有等号）

推论（记住）（逆否命题）（都有等号）

［例题1］

［分析］学会“数学翻译”

递推法（高阶⇒低阶）

数学归纳法（低阶⇒高阶）（验、设、证）

［注］正确递推应保证"n＞N"

［例题2］讨论函数在定义域内的有界性

［分析］有三个方法：

1°理论法——在闭区间上连续，则在闭区间上有界；

2°计算法——开区间连续＋两端点（三步走）；

3°四则运算法——若函数极限不存在⇒拆！

有界加减有界⇒有界

有界×有界⇒有界

［注］均为有限个

［例题3］㏑2≈0.69

给出类似定义式的式子来判断一点极值，想到用保号性（脱帽法）

二、函数极限的计算

综述：

（1）化简先行（等价替换，恒等变形+-×÷，抓大头找带头大哥）

x趋向于0，

与x的一次等价的有8个

与二次等价的有1个

与三次等价的有1个

与四次等价的有1个

（2）判别类型（7种未定式）

（3）使用工具（洛必达，泰勒）

洛必达适用于两种情况（存在、无穷）

x趋向于0时，熟记9个泰勒展开式

（4）注意事项（总结错题）

［例题1］找带头大哥

幂指函数一定要化为指函数

［注］一个找带头大哥的例题

［例题2］

分子次数低于分母次数的式子出现时，可用倒代换x＝1/t

［例题3］

［注］对于0.∞，设置分母有原则，简单因式才下放

简单：幂、指

复杂：对、反三角、根号等

［例题4］∞-∞，有分母则通分！

［例题5］∞-∞，没有分母，创造分母再通分（倒代换，令x=1/t）

［例题6］100％

以下为综合体举例：（去年的趋势）

特征：

①未知参数⇒分类讨论

②变限积分定义函数、泰勒公式

［例题7］［例题8］见笔记

［注］

含参的0/0型，考虑泰勒公式

泰勒公式的展开原则有二：

①上下同阶，针对A/B型

②幂次最低，针对A-B型

［定理］见笔记