堆排序

堆排序的描述

二叉堆

二叉堆是一个数组，它可以被看成一个近似的完全二叉树。树上的每一个结点对应数组中的一个元素。除了最底层外，该树是完全充满的，而且是从左向右填充。 ----摘自《算法导论》第三版

二叉堆分为：最大堆和最小堆
最大堆性质：所有结点的关键值大于等于其孩子节点的关键值（空结点除外）
最小堆性质：所有结点的关键值小于等于其孩子节点的关键值（空结点除外）

冒泡排序的分析

显然，根据最大堆或者最小堆的性质而言，数组的第一个元素（二叉树的根节点元素）就是整个数列中最大或者最小的值。取出根节点值，并且将末尾的元素移至根节点，维护二叉堆性质，继续取根节点值，直到取出全部值，就会得到一个有序数列。对于堆排序的操作时间复杂度是O(nlogn)。

堆排序升序流程：

1. 输入一个数组
2. 构建一个最大堆
3. 取第一个元素，将末尾元素放到第一个位置上
4. 维护最大堆性质
5. 重复3和4步骤，直到取出全部元素

如下表展示堆排序的升序排序：

原始数组	41	26	59	53	21	97	31	58
最大堆	97	58	59	53	21	41	31	26
有序结果	21	26	31	41	53	58	59	97

最大堆的二叉树表示：

最大堆二叉树表示

堆排序升序排序的代码

private int leftChild(int parent){
    return 2 * parent + 1;
}

private int rightChild(int parent){
    return 2 * parent + 2;
}

//维护最大堆的性质
//局部最大堆的根节点下标是sIndex，最末下标是eIndex。
//换言之，维护的是从sIndex到eIndex的结点构成的最大堆
private void maxHeapify(int[] array, int sIndex, int eIndex){
    int child;
    int tmp;
    for (tmp = array[sIndex]; leftChild(sIndex) <= eIndex; sIndex = child){
        //确定关键值更大的孩子结点
        child = leftChild(sIndex);
        if (rightChild(sIndex) <= eIndex){
            child = array[leftChild(sIndex)] > array[rightChild(sIndex)] ? leftChild(sIndex) : rightChild(sIndex);
        }
        //如果孩子结点的关键值大于父结点，上升；否则最大堆性质满足结束循环
        if (tmp < array[child])
            array[sIndex] = array[child];
        else
            break;
    }
    //初始的根节点关键值放在正确位置上
    array[sIndex] = tmp;
}

private void swapArray(int[] array, int i, int j){
    int tmp = array[i];
    array[i] = array[j];
    array[j] = tmp;
}

public void heapSort(int[] array){
    //构造最大堆，从底层开始依次向上构建
    for (int i = array.length/2; i >= 0; i--){
        maxHeapify(array, i, array.length - 1);
    }
    //排序
    for (int i = array.length - 1; i > 0; i--){
        swapArray(array, 0, i);
        maxHeapify(array, 0, i - 1);
    }
}