维度·数学漫步_04 四维空间（下）

根据之前我们所说，我们得知三维空间中包含了二维的 S2 球面，用同样的方法，我们可以研究出四维空间中包含的三维球面，称为 S3，但你是看不到 S3 球面的，因为你的空间只有三维

为此，我们只能效仿之前平面蜥蜴们对三维面体的作为：在这里，我们膨胀一个多面体，直到它的面嵌在一个四维空间的三维球面 S3 上，再用四维空间里面的球极投影到我们的三维空间里

这需要你的一些想象，不过你可以类比之前三维到二维的球极投影，在类比时，请把下面这张图假设为一个展示出了第四维度，但是却压缩了一个可见维度的图，因为压缩了一个可见维度，我们所在的三维空间，相当于下面的那个面，而三维球面 S3 看起来和二维球面 S2 （我们通常说的球面）一样

球极投影

接下来我们看到一个四维单形，它有 5 个顶点和 10 条棱，而这时，棱是一些圆弧，这个情况与三维物体投影到平面上是完全类似的

四维单形

接下来我们加入二维面，来看的更加清楚些，下面就是四维单形和它的 10 个三角面

二维面的四维单形

因为球极投影的原因，我们看到二维面并不是纯平的，正如之前的棱是一些圆弧一样，当四维单形在四维空间中转动，再被球极投影出来，这些面和棱就像当初地球滚动时，陆地投影般随之舞动，有时，一个面会经过投影的极点，而随后，这些点也可能会被投影到无穷远处

现在，我们看下超立方体的球极投影，三维空间被分割成 8 个立方体形的区域，而它们则是超立方体的三维表面，尝试着想象一下，超立方体的表面一共有 8 个立方体，它们彼此相连，而超立方体的二维面，则是 24 个正方形（或多或少地隆起和扭曲）

二维面的超立方体

然后是 24 号，它包含有 24 个顶点，96 条棱，96 个三角形和 24 个八面体，有 8 条棱从它的每个顶点出发

二维面的24号

这里是 120 号，有四条棱从每个顶点出发，它的二维面是五边形，一共有 720 个，这 720 个五边形相互衔接为 120 个 12 面体，而这些 12 面体都互相完美的契合在一起

二维面的120号

最后的是 600 号，它包含有 600 个三维四面体，包括有 1200 个三角面，同时，也有 720 条棱和 120 个顶点，据说，在这个物体的四维空间里有 14400 种对称性

二维面的600号

到这里，我们完成了第一个四维之旅，这里充满着各种奇观，而在此之上更是存在五维，六维，n 维，甚至无限维的空间