替换函数(Substitution Function)

        在对算法进行分析的时候，常常要计算该算法时间复杂度的近似表示(Asymptotic Notation)。然而在求取的过程中，常常遇到递归函数，使求解陷入困境。

        一般的，解决上述递归的方法有三种：替换函数(Substitution Function)，迭代(Iteration)和主定理(Master Thorem)。这里介绍替换函数(Substitution Function)。

替换函数(Substitution Function)

替换函数(Substitution Function)的步骤一般有三：
1. 猜测(Guess)解的形式
2. 用数学归纳法验证(Verify)
3. 用满意的常量来解答(Solve)

首先猜测(Guess)一般我们基于下表这些常用的Efficiency Class

类	名称	注释
1	常数	很少使用，可以忽略输入
log n	对数
n	线性	查找整个输入列表
n log n	n-log-n	很多分治法算法
n2	二次	内嵌两个循环的算法
2n	指数	生成某一个集合的所有子集

对于后两步的说明可以用一个例子来表现：
T(n) = 4T(n/2)  + n
- 猜测T(n)＝O(n ³)

- 假设对于任何k<n有T(k) <= ck³用数学归纳法证明T(n) <= cn³
   T(n) = 4T(n/2) + n <= 4c(n/2)³ + n = cn³/2 + n = cn³ - (cn³/2 - n) <= cn³ (如果c >= 2 且 n>=1)
   那么T(n)＝O(n³)

注意：证明数学归纳法的步骤中，使用(你需要的结果) - (某个式子) > 0

求取比较紧的一个上界，试试T(n)=O(n²)。

注意使用减去小的项来加强数学归纳法的假设
- 假设对于任何k<n有T(k) <= c₁k² - c₂k,
   T(n) = 4T(n/2) + n <= 4(c₁(n/2)² - c₂(n/2)) + n = c₁n² - 2c₂n + n = c₁n² - c₂n - (c₂n - n) <= c₁n² - c₂n
   那么T(n) = O(n²)