[EOJ][397][Typing monkey][字符串+概率+母函数]

  
    

   
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题目：Typing monkey
题目来源：EOJ 397
题目难度：中等偏难
题目内容:
 有一只猴子敲键盘(只敲26个字母，小写)，26个字母敲到的概率分别给出，再给两个长度不超过16的字符串，
 求第一个字符串比第二个字符串先出现的概率
解题思路：
 字符串 + 概率 + 母函数（《具体数学》(英文版.第2版)第八章概率母函数的p410）

 下面是我看了《具体数学》8.4章节后的理解：（可能有些地方说的不清楚，建议先看《具体数学》8.4）
 为了方便理解我们把问题简化，只考虑两个字符(26个字符的情况是类似的)。假定这两个字符分别为‘H’和‘T’。
 其中‘H’出现的概率为p；‘T’出现的概率为q。
 则字符串THTTH出现的概率为

 Pr(THTHH) = qpqpp = p^3 * q^2 --------------------------------------------(《具体数学》P403 )
 
 下面先引入字符串集合无限和的定义：
 我们考虑由所有以“HH”终止且最后位置之前没有出现连续H的字符串集合为

 Ω = {HH, THH, TTHH, HTHH, TTTHH, THTHH, HTTHH, ...}; -----------------(《具体数学》P403 )

 现在定义字符串集合Ω所有元素的无限和为

 S = HH + THH + TTHH + HTHH + TTTHH + THTHH + HTTHH + ... -----------------(《具体数学》P403 )
 
 如果我们用px替换每个H，用qx替换每个T，则我们可以得到一个概率母函数，而这个概率母函数正是“直至出现
 两个连续H时终止敲击键盘”这个事件的概率母函数

 考虑如果题目所求的两个字符串分别为 A=“HHT”， B=“HTT”时
 令A先于B出现的字符串无限和为Sa，B先于A的字符串无限和为Sb, A、B都未出现过的字符串无限和为N，则有

 Sa = HHT + HHHT + THHT + HHHHT + HTHHT + THHHT + ...;
 Sb = HTT + THTT + HTHTT + TTHTT + THTHTT + TTTHTT + ...;
 N = 1 + H + T + HH + HT + TH + TT + HHH + HTH + THH + ... ---------------(《具体数学》P409 )
 
 然后我们可以很容易的得到下面的方程组 --------------------------------------------(《具体数学》P409 )
 1 + N(H + T) = N + Sa + Sb;
 N HHT = Sa;
 N HTT = Sa T + Sb; 

 事实上，我们可以总结得到更一般的方程组 -------------------------------------------(《具体数学》P409 )
 1 + N(H + T) = N + Sa + Sb;
 l min(l,m) 
 NA = Sa Σ A(l-k)[A(k) = A{k}] + Sb Σ A(l-k)[B(k) = A{k}]; ---------------- (1)
 k=1 k=1
 min(l,m) m
 NB = Sa Σ B(m-k)[A(k) = B{k}] + Sb Σ B(m-k)[B(k) = B{k}]; ---------------- (2)
 k=1 k=1

 其中l为A的长度，m为B的长度。A(k)表示A最后k个字符，A{k}表示A的前k个字符 ----------------(《具体数学》P407 )
 比如：若A=THTTH，则有
 A(1) = H, A(2) = TH, A(3) = TTH, A(4) = HTTH
 A{1} = T, A{2} = TH, A{3} = THT, A{4} = THTT
 而[x=y]中等式x=y成立时,[x=y] = 1,否则[x=y] = 0;

 例如： A = HTTHTHTH， B = THTHTTH 时有 ----------------------------(《具体数学》P410 )
 N HTTHTHTH = Sa TTHTHTH + Sa + Sb TTHTHTH + Sb THTH;
 N THTHTTH = Sa THTTH + Sa TTH + Sb THTTH + Sb.

 min(l,m) 
 我们令 A:B = Σ Pr(B(m-k)) / Pr(B) [A(k) = B{k}]
 k=1 
 min(l,m)
 = Σ 1/Pr(B{k}) [A(k) = B{k}] -------------------(求解本题的关键公式)
 k=1

 则(1)式和(2)式消去N可以简化为 
 
 Sa(A:A) + Sb(B:A) = Sa(A:B) + Sb(B:B); --------------------------(《具体数学》P410 )

 进而有
 Sa B:B - B:A
 —— = ————————— ------------------------------------------------(《具体数学》P410 )
 Sb A:A - A:B

 这个比例就是A先出现的情况总数和B先出现的情况总数之比

 则A先出现的概率为 (B:B - B:A) / (B:B - B:A + A:A - A:B)
 B先出现的概率为 (A:A - A:B) / (B:B - B:A + A:A - A:B)
 (当然，上面讨论的情况要求满足：A不能为B的子串，B也不能为A的子串)
做题日期：2011.5.3
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#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
using namespace std;

const int T = 26;
double p[T];
char a[T], b[T];

double calc(char *a, char *b) {
 int la = strlen(a);
 int lb = strlen(b);
 int len = min(la, lb);
 double ans = 0, r = 1;
 for (int i = 1; i <= len; ++i) {
 r /= p[b[i - 1] - 'a'];
 if (strncmp(a + la - i, b, i) == 0) ans += r;
 } return ans;
}

void solve() {
 for (int i = 0; i < T; ++i)
 scanf("%lf", p + i);
 scanf("%s%s", a, b);
 int la = strlen(a);
 int lb = strlen(b);
 int t = min(la, lb);
 for (int i = 0; i < lb - la; ++i) {
 if (strncmp(b + i, a, la) == 0) {
 printf("%.8lf\n", 1.0);
 return;
 }
 }
 for (int i = 0; i < la - lb; ++i) {
 if (strncmp(a + i, b, lb) == 0) {
 printf("%.8lf\n", 0.0);
 return;
 }
 }
 if (strncmp(a + la - t, b + lb - t, t) == 0) {
 printf("%.8lf\n", 0.0);
 return;
 }
 double u = calc(b, b) - calc(b, a);
 double v = calc(a, a) - calc(a, b);
 printf("%.8lf\n", u / (u + v));
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
 freopen("test", "r", stdin);
#endif
 int cas;
 scanf("%d", &cas);
 while (cas--) {
 solve();
 }
 return 0;
}