拟牛顿法实现（Python）

接着上篇写的牛顿法，我们继续来研究牛顿法的改进方法——拟牛顿法。

拟牛顿法其实也是很简单了。为什么要研究出这种方法呢，就是因为常规的牛顿法每次迭代更新x值时都要计算Hessian矩阵。这是个二阶导矩阵，当x的维度增大时，它的计算量也是成指数倍增加的。比如:  ，那么H矩阵的维度就是n*n。

所以，我们就想拿个一阶矩阵来近似于Hessian矩阵。过程如下图：

其实思想都很简单。DFP方法是用一个G正定矩阵来近似于Hessian的逆矩阵，而BFGS方法是用一个B正定矩阵来近似于Hessian矩阵。两个矩阵的更新表达式如下所示：

公式看上去都大同小异的，虽然式子有很多，但求起来都挺简单的。另外，BFGS方法是当前最流行的拟牛顿法，收敛的也更快。

下面是我的代码复现。

BFGS算法：

def bfgs_newton(f, x, iters):
    """
    实现BFGS拟牛顿法
    :param f: 原函数
    :param x: 初始值
    :param iters: 遍历的最大epoch
    :return: 最终更新完毕的x值
    """
    # 步长。设为1才能收敛，小于1不能收敛
    learning_rate = 1
    # 初始化B正定矩阵
    B = np.eye(2)
    x_len = x.shape[0]
    # 一阶导g的第二范式的最小值（阈值）
    epsilon = 1e-5
    for i in range(1, iters):
        g = jacobian(f, x)
        if np.linalg.norm(g) < epsilon:
            break
        p = np.linalg.solve(B, g)
        # 更新x值
        x_new = x - p*learning_rate
        print("第" + str(i) + "次迭代后的结果为:", x_new)
        g_new = jacobian(f, x_new)
        y = g_new - g
        k = x_new - x
        y_t = y.reshape([x_len, 1])
        Bk = np.dot(B, k)
        k_t_B = np.dot(k, B)
        kBk = np.dot(np.dot(k, B), k)
        # 更新B正定矩阵。完全按照公式来计算
        B = B + y_t*y/np.dot(y, k) - Bk.reshape([x_len, 1]) * k_t_B / kBk
        x = x_new
    return x

算法的执行效果如下：

可以看到，在第23次就收敛了。

DFP算法：

def dfp_newton(f, x, iters):
    """
    实现DFP拟牛顿算法
    :param f: 原函数
    :param x: 初始值
    :param iters: 遍历的最大epoch
    :return: 最终更新完毕的x值
    """
    # 步长
    learning_rate = 1
    # 初始化B正定矩阵
    G = np.eye(2)
    x_len = x.shape[0]
    # 一阶导g的第二范式的最小值（阈值）
    epsilon = 1e-5
    for i in range(1, iters):
        g = jacobian(f, x)
        if np.linalg.norm(g) < epsilon:
            break
        p = np.dot(G, g)
        # 更新x值
        x_new = x - p * learning_rate
        print("第" + str(i) + "次迭代后的结果为:", x_new)
        g_new = jacobian(f, x_new)
        y = g_new - g
        k = x_new - x
        Gy = np.dot(G, y)
        y_t_G = np.dot(y, G)
        yGy = np.dot(np.dot(y, G), y)
        # 更新G正定矩阵
        G = G + k.reshape([x_len, 1]) * k / np.dot(k, y) - Gy.reshape([x_len, 1]) * y_t_G / yGy
        x = x_new
    return x

算法执行效率如下：

可以看到，执行到1000次也没有收敛。由此证明了BFGS算法的收敛性确实要优于DFP算法。

最后，我还要提一提矩阵与向量的相关计算问题。我在这块儿吃了一些苦头，这儿推荐一篇博文，里面记录了相关知识点。因为我们传入的X实际上是一个一维向量，与二维矩阵做乘积运算时，不同的顺序所得到的结果会有不同，我们需要注意。

完整版代码在此处下载。