【第02题】给定 n，求 1 + 2 + 3 + ... + n 的和 | 四种解法

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一、题目描述

  循环输入，每输入一个正整数 $n(n\le 65535)$，输出 $1+2+3+...+n$ 的值，并且多输出一个空行。当没有任何输入时，结束程序。

• 这个题中，你将会学到以下的内容：

二、解题思路

难度：⚪⚪⚪⚪

• 由于 $n\le 65535$，不是很大，所以我们完全可以通过循环的方式遍历 1 到 $n$，然后将遍历到的数字加和后进行输出。这样的时间复杂度是 $O(n)$ 的。有关于时间复杂度相关的介绍，可以参考这篇文章：一文搞懂算法时间复杂度。
• 当然，这是一个等差数列的求和公式，所以有：
• $$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
• 这样，只要知道 $n$ 的值，就可以在 $O(1)$ 的时间内求得最终的答案了。接下来，让我们来看下代码如何实现。

三、代码详解

1、错误解法

#include 
int main() {
     
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
     
        int ans = n * (n + 1) / 2;   // (1)
        printf("%d\n\n", ans);
    }
    return 0;
}

• $(1)$ 这行代码直接套用等差数列求和公式。但是这里有一个小问题。
• 因为当 $n$ 取最大值 $65535$ 时，$n\ast (n+1)=65535\ast 65536=(2^{16}-1)2^{16}=2^{32}-2^{16}$，而 $int$ 能够表示的最大值为 $2^{31}-1$，所以产生了溢出。就变成了负数。至于为什么溢出会变成负数，可以了解补码相关的知识：计算机补码详解。
• 接下来介绍四种正确做法。
  

2、正确解法1：循环枚举

#include 
int main() {
     
    int n, ans;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
     
        ans = 0;          // (1)
        while(n) {
             // (2)
            ans += n;     // (3)
            --n;          // (4)
        }
        printf("%d\n\n", ans);
    }
    return 0;
}

• $(1)$ 初始化结果ans为0；
• $(2)$ 用一个while语句来执行循环，一直自减 n，直到n减为零为止；
• $(3)$ 将当前n的值累加给 ans（循环完毕，ans就是1到n的数的累加和）；
• $(4)$ --n等价于n = n - 1；
• 这种方法，就是普通的枚举，正确性容易保证，但是时间复杂度略高，为 $O(n)$。

3、正确解法2：奇偶性判断

#include 
int main() {
     
    int n, ans;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
     
        if(n % 2 == 0) {
                // (1)
            ans = n / 2 * (n+1);   // (2)
        } else {
                        // (3)
            ans = (n+1) / 2 * n;   // (4)
        }
        printf("%d\n\n", ans);
    }
    return 0;
}

• 由于 $n$ 和 $n+1$ 的奇偶性必然不同，所以两者相乘必然能被 2 整除。
• 所以我们可以得到如下情况：
• $$sum(n)=\{\begin{array}{ll}(n+1)/2\times n& n为奇数\\ n/2\times (n+1)& n为偶数\end{array}$$
• 也就是根据奇偶性来决定是用 $n$ 去除 2，还是 $n+1$ 去除 2，从而避免溢出。
• $(1)$ %在C语言中是取模的意思，a%b代表a除上b得到的余数，a%2 == 0则代表 a 为偶数，否则为奇数；这里的if判断代表n是偶数；
• $(2)$ n为偶数时，n能被 2 整除，所以先计算 n/2，再乘上n+1；
• $(3)$ 这里用到了 else语句，代表接下来要进行n为奇数的处理；
• $(4)$ n为奇数时，n+1能被 2 整除，所以先计算 (n+1)/2，再乘上n；

4、正确解法3：无符号整型

#include 
int main() {
     
    unsigned int n;
    while (scanf("%u", &n) != EOF) {
     
        unsigned int ans = n * (n + 1) / 2; // (1)
        printf("%u\n\n", ans);
    }
    return 0;
}

• $(1)$ 由于无符号整型的范围为 $[0,2^{32}-1]$，当 $n=65535$ 时，有：
• $$n\times (n+1)=2^{32}-2^{16}<2^{32}-1$$
• 所以不需要担心溢出问题。

5、正确解法4：64位整型

#include 
int main() {
     
    long long n;
    while (scanf("%lld", &n) != EOF) {
     
        long long ans = n * (n + 1) / 2;  // (1)
        printf("%lld\n\n", ans);
    }
    return 0;
}

• $(1)$ long long是C语言中的64位整型，范围比int大了一个平方量级，在$[-2^{63},2^{63}-1]$，所以也是能够涵盖 $n$ 最大的情况的。
  

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