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文章目录

  • 一、前言
  • 二、人物简介
  • 三、位与运算符
  • 四、位与运算符的应用
    • 1、奇偶性判定
    • 2、取末五位
    • 3、消除末尾五位
    • 4、消除末尾连续1
    • 5、2的幂判定
  • 课后习题

一、前言

  本文作者是从 2007 年开始学 C语言 的,不久又接触了C++,基本就是 C/C++ 技术栈写了 14 年的样子,不算精通,但也算差强人意。著有《夜深人静写算法》系列,且承诺会持续更新,直到所有算法都学完。主要专攻 高中 OI 、大学 ACM、 职场 LeetCode 的全领域算法。由于文章中采用 C/C++ 的语法,于是就有不少读者朋友反馈语言层面就被劝退了,更何况是算法。
  于是,2021 年 06 月 12 日,《光天化日学C语言》 应运而生。这个系列文章主要服务于高中生、大学生以及职场上想入坑C语言的志同道合之人,希望能给祖国引入更多编程方面的人才,并且让自己的青春不留遗憾!
  这一章的主要内容是位与运算符的应用。
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二、人物简介

  • 第一位登场的就是今后会一直教我们C语言的老师 —— 光天。
  • 第二位登场的则是今后会和大家一起学习C语言的没什么资质的小白程序猿 —— 化日。

三、位与运算符

  • 位与运算符是一个二元的位运算符,也就是有两个操作数,表示为x & y
  • 位与运算会对操作数的每一位按照如下表格进行运算,对于每一位只有 0 或 1 两种情况,所以组合出来总共 2 2 = 4 2^2 = 4 22=4 种情况。
左操作数 右操作数 结果
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
  • 通过这个表,我们得出一些结论:
  • 1)无论是 0 或 1,只要位与上 1,还是它本身;
  • 2)无论是 0 或 1,只要位与上 0,就变成 0;
#include 
int main() {
     
    int a = 0b1010;           // (1)
    int b = 0b0110;           // (2)
    printf("%d\n", (a & b) ); // (3)
    return 0;
}
  • ( 1 ) (1) (1) 在C语言中,以0b作为前缀,表示这是一个二进制数。那么a的实际值就是 ( 1010 ) 2 (1010)_2 (1010)2
  • ( 2 ) (2) (2) 同样的,b的实际值就是 ( 0110 ) 2 (0110)_2 (0110)2
  • ( 3 ) (3) (3) 那么这里a & b就是对 ( 1010 ) 2 (1010)_2 (1010)2 ( 0110 ) 2 (0110)_2 (0110)2 的每一位做表格中的&运算。
  • 所以最后输出结果为:
2
  • 因为输出的是十进制数,它的二进制表示为: ( 0010 ) 2 (0010)_2 (0010)2
  • 注意:这里的 前导零 可有可无,作者写上前导零只是为了对齐以及让读者更加清楚位与的运算方式。

四、位与运算符的应用

1、奇偶性判定

  • 我们判断一个数是奇数还是偶数,往往是通过取模%来判断的,如下:
#include 
int main() {
     
    if(5 % 2 == 1) {
     
        printf("5是奇数\n");
    }
    if(6 % 2 == 0) {
     
        printf("6是偶数\n");
    }
    return 0;
} 
  • 然而,我们也可以这么写:
#include 
int main() {
     
    if(5 & 1) {
     
        printf("5是奇数\n");
    }
    if( (6 & 1) == 0 ) {
     
        printf("6是偶数\n");
    }
    return 0;
} 
  • 哇,好神奇!
  • 这是利用了奇数和偶数分别的二进制数的特性,如下表所示:
- 二进制末尾位
奇数 1
偶数 0
  • 所以,我们对任何一个数,通过将它和 0b1进行位与,结果为零,则必然这个数的二进制末尾位为0,根据以上表就能得出它是偶数了;否则,就是奇数。
  • 注意,由于if语句我们还没有实际提到过,所以这里简单提一下,后面会有系统的讲解:
	if( expr ) {
      body }
  • 对于以上语句,expr代表的是一个表达式,表达式的值最后只有 零 或 非零,如果值为非零,才会执行body中的内容。

2、取末五位

【例题1】给定一个数,求它的二进制表示的末五位,以十进制输出即可。

  • 这个问题的核心就是:我们只需要末五位,剩下的位我们是不需要的,所以可以将给定的数 位与上0b11111,这样一来就直接得到末五位的值了。
  • 代码实现如下:
#include 
int main() {
     
    int x;
    scanf("%d", &x);
    printf("%d\n", (x & 0b11111) );
    return 0;
} 

【例题2】如果是想得到末七位、末九位、末十四位、末 K 位,应该如何实现呢?

3、消除末尾五位

【例题3】给定一个 32 位整数,要求消除它的末五位。

  • 还是根据位与的性质,消除末五位的含义,有两层:
  • 1)末五位,要全变成零;
  • 2)剩下的位不变;
  • 那么,根据位运算的性质,我们需要数,它的高27位都为1,低五位都为 0,则这个数就是:
  • ( 11111111111111111111111111100000 ) 2 (11111111111111111111111111100000)_2 (11111111111111111111111111100000)2
  • 但是如果要这么写,代码不疯掉,人也会疯掉,所以一般我们把它转成十六进制,每四个二进制位可以转成一个十六进制数,所以得到十六进制数为0xffffffe0
  • 代码实现如下:
#include 
int main() {
     
    int x;
    scanf("%d", &x);
    printf("%d\n", (x & 0xffffffe0) );
    return 0;
} 

4、消除末尾连续1

【例题4】给出一个整数,现在要求将这个整数转换成二进制以后,将末尾连续的1都变成0,输出改变后的数(以十进制输出即可)。

  • 我们知道,这个数的二进制表示形式一定是:
  • . . . 0 11...11 ⏟ k ...0\underbrace{11...11}_{\rm k} ...0k 11...11
  • 如果,我们把这个二进制数加上1,得到的就是:
  • . . . 1 00...00 ⏟ k ...1\underbrace{00...00}_{\rm k} ...1k 00...00
  • 我们把这两个数进行位与运算,得到:
  • . . . 0 00...00 ⏟ k ...0\underbrace{00...00}_{\rm k} ...0k 00...00
  • 所以,你学会了吗?

5、2的幂判定

【例题5】请用一句话,判断一个正数是不是2的幂。

  • 如果一个数是 2 的幂,它的二进制表示必然为以下形式:
  • 1 00...00 ⏟ k 1\underbrace{00...00}_{\rm k} 1k 00...00
  • 这个数的十进制值为 2 k 2^k 2k
  • 那么我们将它减一,即 2 k − 1 2^k-1 2k1 的二进制表示如下(参考二进制减法的借位):
  • 0 11...11 ⏟ k 0\underbrace{11...11}_{\rm k} 0k 11...11
  • 于是 这两个数位与的结果为零,于是我们就知道了如果一个数 x x x 是 2 的幂,那么x & (x-1)必然为零。而其他情况则不然。
  • 所以本题的答案为:
	(x & (x-1)) == 0

通过这一章,我们学会了:
  1)用位运算 & 来做奇偶性判定;
  2)用位运算 & 获取一个数的末五位,末七位,末K位;
  3)用位运算 & 消除某些二进制位;
  4)用位运算 & 消除末尾连续 1;

  • 希望对你有帮助哦 ~ 祝大家早日成为 C 语言大神!

课后习题

  • 【第39题】位与 & 的应用 | 一句话消除末尾连续的 1

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  算法进阶专栏《夜深人静写算法》

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