阶乘相关的算法及其C++实现

　

阶乘指从1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的数。C++中的阶乘亦是如此。有关阶乘的算法，不外乎两个方面：一是高精度计算；二是与数论相关。

　　一、高精度计算阶乘

　　这实际上是最没有技术含量的问题，但是又会经常用到，所以还是得编写，优化它的计算。

　　首先看小于等于12的阶乘计算（计算结果不会超出32位范围）：

 

int factorial(int n) {  if (n == 1 || n == 0)  return 1;  return factorial(n-1)*n;  }

 

　　这个递归程序简单明了，非常直观，然而一旦n > 12，则超过32位int型的范围出现错误结果，所以上面这个递归程序仅适合n <= 12的阶乘计算，为了计算较大n的阶乘，需要将高精度乘法算法纳入到阶乘计算中来，高精度乘法过程可以如下简单的描述：（其中A * B = C，A[0]， B[0]， C[0]分别存储长度）

 

for (i = 1; i <= A[0]; i++)   for (j = 1; j <= B[0]; j++) {   C[i+j-1] += A[i]*B[j]; // 当前i+j-1位对应项 + A[i] * B[j]   C[i+j] += C[i+j-1]/10; // 它的后一位 + 它的商(进位)   C[i+j-1] %= 10; // 它再取余即可   }   C[0] = A[0] + B[0];   while (C[0] > 1 && C[C[0]] == 0) C[0]--; // 去头0，获得实际C的长度

 

　　有了这个高精度乘法之后，计算阶乘就可以简单的迭代进行：

　　for （i = 2; i <= n; i++） {

　　将i转换成字符数组;

　　执行高精度乘法：将上一次结果乘上i

　　}

　　二、与数论有关

　　由于阶乘到后面越来越大，巧妙的利用数论求得一些有趣的数字（数值）等成为阶乘算法的设计点，下面给出几道相关的问题与分析：

　　（1） 计算阶乘末尾第一个非0数字：

　　这是一个比较经典的问题，比较复杂的算法是利用一个艰难的数学公式，可惜我不会，从网上的资料学习中，整理出下面这个简单易懂的算法：

　　观察n!，可以发现在乘的过程中，对于任意 n > 1，n!的末尾第一个非0数字都是偶数。我们只需保留最后一位非零数。当要乘的数中含有因数5时，我们可以把所有的因数5都当作8来乘。这是因为：

　　…x2*5=…10（舍）或…60，最后一位非零数为6。而恰好2*8=16，末位为6。
　　…x4*5=…70（舍）或…20，最后一位非零数为2。而恰好4*8=32，末位为2。
　　…x6*5=…30（舍）或…80，最后一位非零数为8。而恰好6*8=48，末位为8。
　　…x8*5=…90（舍）或…40，最后一位非零数为4。而恰好8*8=64，末位为4。

　　（对于n > 1时，最后一位不会出现 1, 7, 3, 9，而永远是2, 4, 6, 8的循环出现）

　　因此，在迭代作乘法时，主要就是计算因子5的数量，同时可见因子5的个数以4为循环节（即只需要取它的数量对4取模）。那么对于不同情况下的因子5的数量，可以通过res[5][4] = {{0,0,0,0}, {2,6,8,4}, {4,2,6,8}, {6,8,4,2}, {8,4,2,6}}来得到，使用nonzero[i]表示i的阶乘的最后一位，那么：

　　如果t是偶数，则直接乘：nonzero[i] = （nonzero[i-1]*t）%10。

　　否则nonzero[i] = res[（（nonzero[i-1]*t）%10）/2][five];

　　其中t是除掉所有因子5的结果，five为因子5数量对4的模。相关题目：

　　http://acm.zju.edu.cn的第1222题。不过这一道题注意的是，它的输入n并非只在32位int数值范围内，而是有很大的长度，所以计算这道变态题目时，需要利用到高精度除法（n/=5）和高精度加法（cnt+=n）。

（2）阶乘末尾有多少个0

　　分析发现，实际上形成末尾0，就是因子5的数量，而计算1~n之间包含一个因子i的个数的简单算法就是：

　　cnt = 0; while （n） { n /= i; cnt += n; }

　　因此，直接将i换成5，就可以得到因子5的数量，也即n!末尾0的数量。

　　（3）返回阶乘左边的第二个数字

　　简单算法：用实数乘，超过100就除以10，最后取个位即可。因为整数部分的个位就是阶乘结果左边的第二个数字。相关题目：

　　（4）判断数值 m 是否可以整除 n!

　　算法：使用素因子判断法

　　A. 首先直接输出两种特殊情况：

　　m == 0 则 0肯定不会整除n!;

　　n >= m 则 m肯定可以整除n!;

　　B. 那么就只剩最后一种情况：m > n，我们从m的最小素因子取起，设素因子为i那么可以 求得m的素因子i的个数 nums1;再检查闭区间 i ~ n 之间的数，一共包含多少个素因子i，就可以简单的利用上面（2）中所介绍的数学公式进行计算得到nums2。如果nums2 < nums1，就表示1 ~ n中包含素因子的数量 < 除数m包含素因子i的数量，那么m必然不能整除n!，置ok = false。

　　C. 最后：如果 !ok or m > n or m == 0 则不能整除;否则可以整除

　　（5）数字N能否表示成若干个不相同的阶乘的和：

　　这里可以选择的阶乘为：0! ~ 9!，实际上这一题与数论无关，与搜索有关。相关题目：http://acm.zju.edu.cn的2358题。

　　分析，由于可供选择的阶乘数量较少，直接可以利用DFS搜索来做：

　　A. 首先将0 ~ 9的阶乘作一个表A[10];再设置一个可以组成“和”的数组ans[N]。

　　B. 深度优先搜索方法：

 

search(n) {   for(i = n; i <= 9; i++) {   sum += A[i]; //求和，如果sum在ans数组中不存在，则将sum插入到ans[]数组中   search(n+1);   sum -= A[i]; //回溯   }   }

 

　　C. 最后对于输入n，就在ans数组中查找是否存在n，如果存在，则表示n可以表示成不同的阶乘和，否则不行。

　　通过上文的介绍，我们可以知道，C++中的阶乘是通过使用循环语句实现的。其实，只要我们掌握了阶乘的算法，用那种语言来实现都是简单的。希望能帮助你对阶乘有更深一步的了解。

 

令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数，则有： 
当0 < n < 5时，f(n!) = 0; 
当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。