信息熵、交叉熵与KL散度

信息量

在信息论与编码中，信息量，也叫自信息（self-information），是指一个事件所能够带来信息的多少。一般地，这个事件发生的概率越小，其带来的信息量越大。从编码的角度来看，这个事件发生的概率越大，其编码长度越小，这个事件发生的概率越小，其编码长度就越大。但是编码长度小也是代价的，比如字母’a’用数字‘0’来表示时，为了避免歧义，就不能有其他任何以‘0’开头的编码了。因此，信息量定义如下：

信息熵

信息熵是指一个概率分布p的平均信息量，代表着随机变量或系统的不确定性，熵越大，随机变量或系统的不确定性就越大。从编码的角度来看，信息熵是表示一个概率分布p需要的平均编码长度，其可表示为：

交叉熵

交叉熵是指在给定真实分布q情况下，采用一个猜测的分布p对其进行编码的平均编码长度（或用猜测的分布来编码真实分布得到的信息量）。交叉熵可以用来衡量真实数据分布于当前分布的相似性，当前分布与真实分布相等时（q=p），交叉熵达到最小值。其可定义为：

因此，在很多机器学习算法中都使用交叉熵作为损失函数，交叉熵越小，当前分布与真实分布越接近。此外，相比于均方误差，交叉熵具有以下两个优点：

• 在LR中，如果用均方误差损失函数，它是一个非凸函数，而使用交叉熵损失函数，它是一个凸函数；
• 在LR中使用sigmoid激活函数，如果使用均方误差损失函数，在对其求残差时，其表达式与激活函数的导数有关，而sigmoid（如下图所示）的导数在输入值超出[-5,5]范围后将非常小，这会带来梯度消失问题，而使用交叉熵损失函数则能避免这个问题。
  

KL散度

KL散度又称相对熵，是衡量两个分布之间的差异性。从编码的角度来看，KL散度可表示为采用猜测分布p得到的平均编码长度与采用真实分布q得到的平均编码长度多出的bit数，其数学表达式可定义为：

一般地，两个分布越接近，其KL散度越小，最小为0.它具有两个特性：

• 非负性，即KL散度最小值为0，其详细证明可见[1] ;
• 非对称性，即D_q(p)不等于D_p(q) ;

KL散度与交叉熵之间的关系

在这里，再次盗用[1]的图来形象地表达这两者之间的关系：

• 最上方cH(p)为信息熵，表示分布p的平均编码长度/信息量；
• 中间的H_q(p)表示用分布q表编码分布p所含的信息量或编码长度，简称为交叉熵，其中H_q(p)>=H(p);
• 最小方的D_q(p)表示的是q对p的KL距离，衡量了分布q和分布p之间的差异性，其中D_q(p)>=0;
  从上图可知，H_q(p) = H(p) + D_q(p)。

参考资料

[1] https://blog.csdn.net/haolexiao/article/details/70142571
[2] https://blog.csdn.net/saltriver/article/details/57531963
[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/29321631
[4] https://www.zhihu.com/question/41252833