R语言----泊松回归

泊松回归包括回归模型，其中响应变量是计数形式。 例如，足球比赛系列中的出生次数或胜利次数。 此外，响应变量（因变量y）的值遵循泊松分布。

泊松回归的一般数学方程为 ：

log(y) = a + b1x1 + b2x2 + bnxn…

以下是所使用的参数的描述 ：

• y是响应变量。
• a和b是数字系数。
• x是预测变量。

glm( ) 函数

在泊松回归中glm()函数的基本语法是 ：

glm(formula,data,family)

以下是在上述功能中使用的参数的描述：

• formula是表示变量之间的关系的符号。
• data是给出这些变量的值的数据集。
• family是R语言对象来指定模型的细节。 它的值是“泊松”的逻辑回归。

举个栗子：
我们有内置的数据集“warpbreaks”，其描述了羊毛类型（A或B）和张力（低，中或高）对每个织机的经纱断裂数量的影响。
让我们考虑“breaks”作为响应变量，它是断裂次数的计数。 羊毛类型"wool"和张力"tension"作为预测变量。
输入：

input <- warpbreaks
print(head(input))

输出：

  breaks wool tension
1     26    A       L
2     30    A       L
3     54    A       L
4     25    A       L
5     70    A       L
6     52    A       L

创建回归模型：
输入：

output <-glm(formula = breaks ~ wool+tension, 
                   data = warpbreaks, 
                 family = poisson)
print(summary(output))

输出：

Call:
glm(formula = breaks ~ wool + tension, family = poisson, data = warpbreaks)

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-3.6871  -1.6503  -0.4269   1.1902   4.2616  

Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)  3.69196    0.04541  81.302  < 2e-16 ***
woolB       -0.20599    0.05157  -3.994 6.49e-05 ***
tensionM    -0.32132    0.06027  -5.332 9.73e-08 ***
tensionH    -0.51849    0.06396  -8.107 5.21e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

    Null deviance: 297.37  on 53  degrees of freedom
Residual deviance: 210.39  on 50  degrees of freedom
AIC: 493.06

Number of Fisher Scoring iterations: 4

详解summary

Deviance Residuals:偏差残差统计量。
在理想情况下服从正态分布，普通最小二乘法在数学上保证产生均值为0的残差。

• 在此例中，中位数的符号为负（-0.4269），表明向左偏移，中位数的大小表明偏斜的程度。
• 第一个四分位数（1Q）和第三个四分位数（3Q）为钟形分布的幅度。在这种情况下，1Q有较大的幅度（-1.6503）表明向左倾斜。
• 最大和最小残差用来检验数据中产生较大残差的离群值。

Coefficients:系数。
如果一个变量的系数为0，那么这个变量是没有意义的，它对模型毫无贡献。
这里的系数只是估计，不会真正为0，那么从统计的角度而言，真正的系数为0的可能性是多大？这就依赖于z统计量（z value）和p值（Pr(>|t|)）。

• (Intercept)的Estimate ---- 公式中的b

• woolB、tensionM、tensionH的Estimate ----公式中的系数

• Pr(>|z|)—p-value:P值。概率p值估计了系数不显著的可能性，越小越好。如果p值很大，说明不显著的可能性很高。一般情况下如果p值远小于于显著水平α=0.05（可更换显著性水平的值）

• Std.Error是回归系数的标准误差

• Null deviance:无效偏差（零偏差）； Residual deviance:剩余偏差 ；无效偏差和剩余偏差之间的差异越大越好

• AIC：评价模型拟合的重要指标； AIC越低越好

总结结论：
在摘要中，我们查找最后一列中的p值小于0.05，以考虑预测变量对响应变量的影响。 如图所示，具有张力类型M和H的羊毛类型B对断裂计数有影响。