在前面,我们给出了利用逐步回归来选择对因变量Y影响最显著的自变量进入回归方程的方法,并且还可以利用AIC准则或其他准则来选择最佳回归模型。但是这些只是从选择自变量上来研究,而没有对回归模型的一些特性做更进一步的研究,并且没哟研究一引起样本问题,异常样本的存在往往会给回归模型带来不稳定。为此,人们提出所谓回归诊断的问题(regression diagnostics),其主要内容如下:
在多元线性回归后做残差图分析可以找到数据中的异常值,如下:
横坐标是一个拟合值,可以看到help(lm)里写道:fitted.values the fitted mean values.是拟合的方程中Y值,这个Y值也是个期望值,平均值。
纵坐标是残差值。
当然,我们是主要是看越接近0越好,这样拟合的函数和样本点之间的误差就很小。
纵坐标是标准化的残差值。
横坐标是理论上的分位区间
根据上图,大概可以看出绝大多数(90%以上样本)的标准化残差都在-1到1的区间。类似依据可以判断是否符合正态分布。
当自变量彼此相关时,回归模型可能分成令人糊涂。估计的效应会由于模型中的其他自变量而改变数值,甚至是符号。故在分析时,了解自变量间的关系的影响是很重要的。这一复杂问题常称为共线性或多重共线性。
如果存在某些常数c0,c1和c2,使得线性等式
对于数据中所有数据中的样本都成立,则两个自变量X1和X2为精确共线性。
在实际中,精确共线性是偶人发生的,因此,如果上述等式近似地对测量数据成立,则有近似共线性。
对于p(>2)个自变量,如果存在常数c0, c1, …, cp使得,
近似成立,则表示这p个变量存在多重共线性。
度量多重共线性严重程度的一个重要指标是条件数。
直观上,条件数刻画了XTX的特征值差异的大小。从实际应用的经验角度,一般k<100, 则认为多重共线性的程度很小。若100<=k<=1000, 则认为存在中等程度或较强的多重共线性,若 k>1000,则认为存在严重的多重共线性。
在R中,函数kappa()函数计算矩阵的条件数,其使用方法为:
其中z为矩阵,exact为逻辑变量,当exact=TRUE时,精确计算条件数。否则近似计算条件数。
例 6.18 考虑一个有六个回归自变量的线性回归问题,原始数据列在表6.10中。这里共有12组数据。
除第一组外,自变量X1, X2,…, X6的其余11组数据满足线性关系:
试用求矩阵条件数的方法,分析出自变量间存在多重共线性。
解析:用数据框的方法输入数据,由自变量X1,X2,X3,…, X6中心化和标准化得到的矩阵XTX本质上就是由这些自变量生成的相关矩阵,再用kappa()函数求出矩阵XTX的条件数,用eigen()函数求出矩阵XTX的最小特征值和相应的特征向量。求解问题的R程序如下:
得到条件数是k=2195.908 > 1000,认为有严重的多重共线性。
进一步,找出哪些变量是多重共线性。计算矩阵的特征值和相应的特征向量:
得到:
所以存在着c0, c1, c2, c3, c4使得:
这说明变量X1,X2,X3,X4存在着多重共线性,与题目中给的变量是相同的。
注意:kappa()函数也可以求线性模型的条件数,但实际上是计算由自变量X1,X2,X3,Xp,Y构成矩阵的条件数,即: