问题来源
这是Hackerrank上的一个比较有意思的问题,详见下面的链接:
https://www.hackerrank.com/challenges/ctci-coin-change
问题简述
给定m个不同面额的硬币,C={c0, c1, c2…cm-1},找到共有几种不同的组合可以使得数额为n的钱换成等额的硬币(每种硬币可以重复使用)。
比如:给定m=3,C={2,1,3},n=4,那么共有4种不同的组合可以换算硬币
{1,1,1,1}
{1,1,2}
{2,2}
{1,3}
解决方案
基本思路是从硬币(coins)的角度出发,考虑coins[0]仅使用1次的情况下有几种组合,coins[0]仅使用2次的情况下有几种组合,依次类推,直到 (n - coins[0] * 使用次数) < 0 则终止,而每个 (n - coins[0]) 下又可以递归 (n - coins[0] - coins[1]) 的情况,直到考虑完所有的硬币。
这样说可能还是没有说清楚,下面以m=3,C={1,2,3},n=4为例,用图来说明一下(建议结合程序一起看)。
图1:coin Change不完整递归图
上图没有画出完整的递归过程(有点麻烦~偷了个懒),不过把能得出结果的几条路径都描绘出来了。其中,recursion(money, index)中,money指的是还没有进行兑换的钱,index指的是要用哪个coin去兑换,比如这里的0指的是coins[0]=1,1指的是coins[1]=2,2指的是coins[2]=3,3是不存在的,这也是程序的终止条件之一。 注意到再递归的过程中有重叠子问题(我用紫色标注出了其中一个),这就可以用动态规划的思想来解决了,创建一块空间来存储已经算过的结果就可以了。 # 程序代码 好了,下面直接上程序了,结合图看好理解~
#include#include #include #include using namespace std; long long recursion(vector &coins, int money, int index, unordered_map &memo){ //终止条件2个 if (0 == money) return 1; if (index >= coins.size() || money < 0) return 0; string key = to_string(money) + " , " + to_string(index); //如果记录中有的话就直接返回就好了 if (memo.find(key) != memo.end()) return memo[key]; long long res = 0; int remaining = money; while(remaining >= 0){ res += recursion(coins, remaining, index + 1, memo); remaining -= coins[index]; } //记录一下 memo[key] = res; return res; } long long make_change(vector coins, int money) { //用哈希表来记录 <剩下的钱-用的硬币>:换硬币的组合数 unordered_map memo; long long res = recursion(coins, money, 0, memo); return res; } int main(){ int n; int m; cin >> n >> m; vector coins(m); for(int coins_i = 0;coins_i < m;coins_i++){ cin >> coins[coins_i]; } cout << make_change(coins, n) << endl; return 0; }
Sample Input
10 4
2 5 3 6
Sample Output
5
真正的DP
上面的那段代码是以自顶向下的方式来解决问题的,思路比较清晰,而真正的动态规划是自底向上的,思路其实也差不多,下面给出代码~
long long make_change(vectorcoins, int money) { vector memo(money + 1, 0); memo[0] = 1; for (int i = 0; i < coins.size(); i++){ for (int j = coins[i]; j <= money; j++){ memo[j] += memo[j - coins[i]]; } } return memo[money]; }
补充——硬币不能重复使用
如果每种硬币不能重复使用的话,又该怎么办呢?这只需要再程序上做一些小的改动就可以了,真的是非常神奇~
要细细体会一下~
long long make_change(vectorcoins, int money) { vector memo(money + 1, 0); memo[0] = 1; for (int i = 0; i < coins.size(); i++){ //改动处:由从前往后改成了从后往前,略去了重复的情况 for (int j = money; j >= coins[i]; j--){ memo[j] += memo[j - coins[i]]; } } return memo[money]; }
补充2——不同顺序表示不同组合
然后再来变一变,如果每种硬币可以使用无限多次,但是不同的顺序表示不同的组合,那么又有多少种组合呢?
比如:
coins = [1, 2, 3]
money = 4可能的组合情况有:
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)注意,不同的顺序序列表示不同的组合~
所以结果是7。
这种情况下的代码是:
long long make_change(vectorcoins, int money) { vector memo(money + 1, 0); memo[0] = 1; //改变了里外循环的顺序 for (int i = 1; i <=money; i++){ for (int j = 0; j < coins.size(); j++){ if (i - coins[j] >= 0) memo[i] += memo[i - coins[j]]; } } return memo[money]; }
要仔细体会一下三种情况下的区别和代码微妙的变化~
结束语
动态规划的代码量其实不大,但是思维量还是挺大的,要写正确还是要折腾挺久的~
本人是初学者,如有错误,还请指正~希望大家以后多多支持脚本之家!