用Python搓一个太阳系

图片上传之后不知为何帧率降低了许多。。。

日地月三体

所谓三体，就是三个物体在重力作用下的运动。由于三点共面，所以三个质点仅在重力作用下的运动轨迹也必然无法逃离平面。

三体运动所遵循的规律就是古老而经典的万有引力

$$F=\frac{G{m}_i{m}_j}{r^2}{e}_r$$

则对于$m_i$而言，

$$m_i\frac{\text{d}{v}_i}{\text{d}t}=\frac{G{m}_i{m}_j}{r_{ij}^3}{r}_{ij}$$

且

$$\frac{\text{d}{r}_i}{\text{d}t}=v_i$$

将其写为差分形式

$$\begin{array}{rl}{v}_i& =\sum _{j\ne i}\frac{G{m}_j}{r_{ij}^3}{r}_{ij}\text{d}t\\ r_i& =v_i\text{d}t\end{array}$$

由于我们希望观察三体运动的复杂形式，而不关系其随对应的宇宙星体，所以不必考虑单位制，将其在二维平面坐标系中拆分，令$v=(u,v)$，则

$$\begin{array}{rl}{u}_i& +=\sum _{j\ne i}\frac{G{m}_j(x_j-x_i)\text{d}t}{{\sqrt{(x_i-x_j{)}^2+(y_i-y_j{)}^2}}^3}\\ v_i& +=\sum _{j\ne i}\frac{G{m}_j(y_j-y_i)\text{d}t}{{\sqrt{(x_i-x_j{)}^2+(y_i-y_j{)}^2}}^3}\\ x_i& +=u_i\text{d}t\\ y_i& +=v_i\text{d}t\end{array}$$

太阳、地球和月亮就是一个典型的三体系统，其中太阳质量为$1.989\times 10^{30}kg$，地球质量为$5.965\times 10^{24}kg$，月球质量为$7.342✕10^{22}kg$，万有引力常数为$G=6.67\times 10^{-11}N\cdot m2/k{g}^2$。地月距离为$3.8\times 10^{8}m$；日地距离为$1.5\times 10^{11}m$；地球公转速度为$28.8km/s$；月球公转速度为$1km/s$，则各参数初始化为

#后续代码主要更改这里的参数
m = [1.33e20,3.98e14,4.9e12]
x = np.array([0,1.5e11,1.5e11+3.8e8])
y = np.array([0,0,0])
u = np.array([0,0,0])
v = np.array([0,2.88e4,1.02e3])

由于地月之间的距离相对于日地距离太近，所以在画图的时候将其扩大100倍，得到图像

尽管存在误差，但最起码看到了地球围绕太阳转，月球围绕地球转。。。代码为

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import animation

m = [1.33e20,3.98e14,4.9e12]
x = np.array([0,1.5e11,1.5e11+3.8e8])
y = np.array([0.0,0,0])
u = np.array([0.0,0,0])
v = np.array([0,2.88e4,2.88e4+1.02e3])

fig = plt.figure(figsize=(12,12))
ax = fig.add_subplot(xlim=(-2e11,2e11),ylim=(-2e11,2e11))
ax.grid()

trace0, = ax.plot([],[],'-', lw=0.5)
trace1, = ax.plot([],[],'-', lw=0.5)
trace2, = ax.plot([],[],'-', lw=0.5)

pt0, = ax.plot([x[0]],[y[0]] ,marker='o')
pt1, = ax.plot([x[0]],[y[0]] ,marker='o')
pt2, = ax.plot([x[0]],[y[0]] ,marker='o')

k_text = ax.text(0.05,0.85,'',transform=ax.transAxes)
textTemplate = 't = %.3f days\n'

N = 1000
dt = 36000
ts =  np.arange(0,N*dt,dt)/3600/24
xs,ys = [],[]
for _ in ts:
    x_ij = (x-x.reshape(3,1))
    y_ij = (y-y.reshape(3,1))
    r_ij = np.sqrt(x_ij**2+y_ij**2)
    for i in range(3):
        for j in range(3):
            if i!=j :
                u[i] += (m[j]*x_ij[i,j]*dt/r_ij[i,j]**3)
                v[i] += (m[j]*y_ij[i,j]*dt/r_ij[i,j]**3)
    x += u*dt
    y += v*dt
    xs.append(x.tolist())
    ys.append(y.tolist())

xs = np.array(xs)
ys = np.array(ys)

def animate(n):
    trace0.set_data(xs[:n,0],ys[:n,0])
    trace1.set_data(xs[:n,1],ys[:n,1])
    #绘图时的地月距离扩大100倍，否则看不清
    tempX2S = xs[:n,1]+100*(xs[:n,2]-xs[:n,1])
    tempY2S = ys[:n,1]+100*(ys[:n,2]-ys[:n,1])
    trace2.set_data(tempX2S,tempY2S)

    pt0.set_data([xs[n,0]],[ys[n,0]])
    pt1.set_data([xs[n,1]],[ys[n,1]])
    tempX = xs[n,1]+100*(xs[n,2]-xs[n,1])
    tempY = ys[n,1]+100*(ys[n,2]-ys[n,1])
    pt2.set_data([tempX],[tempY])

    k_text.set_text(textTemplate % ts[n])
    return trace0, trace1, trace2, pt0, pt1, pt2, k_text

ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, 
    range(N), interval=10, blit=True)

plt.show()
ani.save("3.gif")

日地火

	质量$M$	$GM$	与太阳距离	公转速度
地球	$5.965\times 10^{24}kg$	$3.98\times 10^{14}$	$1.5\times 10^{11}m$	$28.8km/s$
火星	$6.4171✕10^{23}kg$	$4.28\times 10^{13}$	$1.52A.U.=2.28\times 10^{11}$	$24km/s$

m = [1.33e20,3.98e14,4.28e13]
x = np.array([0,1.5e11,2.28e11])
y = np.array([0.0,0,0])
u = np.array([0.0,0,0])
v = np.array([0,2.88e4,2.4e4])

### 由于火星离地球很远，所以不必再改变尺度
def animate(n):
    trace0.set_data(xs[:n,0],ys[:n,0])
    trace1.set_data(xs[:n,1],ys[:n,1])
    trace2.set_data(xs[:n,2],ys[:n,2])

    pt0.set_data([xs[n,0]],[ys[n,0]])
    pt1.set_data([xs[n,1]],[ys[n,1]])
    pt2.set_data([xs[n,2]],[ys[n,2]])

    k_text.set_text(textTemplate % ts[n])
    return trace0, trace1, trace2, pt0, pt1, pt2, k_text

得到

这个运动要比月球的运动简单得多——前提是开上帝视角，俯瞰太阳系。如果站在地球上观测火星的运动，那么这个运动可能相当带感

所以这都能找到规律，托勒密那帮人也真够有才的。

太阳系

由于太阳和其他星体之间的质量相差悬殊，所以太阳系内的多体运动，都将退化为二体问题，甚至如果把太阳当作不动点，那就成了单体问题了。

尽管如此，我们还是尽可能地模仿一下太阳系的运动情况

	质量	半长轴(AU)	平均速度(km/s)
水星	0.055	0.387	47.89
金星	0.815	0.723	35.03
地球	1	1	29.79
火星	0.107	1.524	24.13
木星	317.8	5.203	13.06
土星	95.16	9.537	9.64
天王星	14.54	19.19	6.81
海王星	17.14	30.07	5.43
冥王星

除了水星偏心率为0.2，对黄道面倾斜为7°之外，其余行星的偏心率皆小于0.1，且对黄道面倾斜普遍小于4°。由于水星的轨道太小，偏不偏心其实都不太看得出来，所以就当它是正圆也无所谓了，最后得图

au,G,RE,ME = 1.48e11,6.67e-11,1.48e11,5.965e24

m = np.array([3.32e5,0.055,0.815,1,
              0.107,317.8,95.16,14.54,17.14])*ME*6.67e-11
r = np.array([0,0.387,0.723,1,1.524,5.203,
              9.537,19.19,30.7])*RE
theta = np.random.rand(9)*np.pi*2

x = r*np.cos(theta)
y = r*np.sin(theta)

v = np.array([0,47.89,35.03,29.79,
              24.13,13.06,9.64,6.81,5.43])*1000
u = -v*np.sin(theta)
v = v*np.cos(theta)

name = "solar.gif"

fig = plt.figure(figsize=(10,10))
ax = fig.add_subplot(xlim=(-31*RE,31*RE),ylim=(-31*RE,31*RE))
ax.grid()

traces = [ax.plot([],[],'-', lw=0.5)[0] for _ in range(9)]
pts = [ax.plot([],[],marker='o')[0] for _ in range(9)]

k_text = ax.text(0.05,0.85,'',transform=ax.transAxes)
textTemplate = 't = %.3f days\n'

N = 500
dt = 3600*50
ts =  np.arange(0,N*dt,dt)
xs,ys = [],[]
for _ in ts:
    x_ij = (x-x.reshape(len(m),1))
    y_ij = (y-y.reshape(len(m),1))
    r_ij = np.sqrt(x_ij**2+y_ij**2)
    for i in range(len(m)):
        for j in range(len(m)):
            if i!=j :
                u[i] += (m[j]*x_ij[i,j]*dt/r_ij[i,j]**3)
                v[i] += (m[j]*y_ij[i,j]*dt/r_ij[i,j]**3)
    x += u*dt
    y += v*dt
    xs.append(x.tolist())
    ys.append(y.tolist())

xs = np.array(xs)
ys = np.array(ys)

def animate(n):
    for i in range(9):
        traces[i].set_data(xs[:n,i],ys[:n,i])
        pts[i].set_data(xs[n,i],ys[n,i])
    k_text.set_text(textTemplate % (ts[n]/3600/24))
    return traces+pts+[k_text]

ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, 
    range(N), interval=10, blit=True)

plt.show()
ani.save(name)

由于外圈的行星轨道又长速度又慢，而内层的刚好相反，所以这个图很难兼顾，观感上也不太好看。

如果只画出木星之前的星体，顺便加上小行星带，可能会好一些。

通过这个图就能看出来，有一颗小行星被木星弹了过来，直冲冲地向地球赶来，幸好又被太阳弹了出去，可见小行星还是挺危险的，好在这只是个假想图。