哈工大-机器学习-实验四：PCA
PCA模型实验
一、实验目的
目标
实现一个PCA模型，能够对给定数据进行降维（即找到其中的主成分）
测试
- 首先人工生成一些数据（如三维数据），让它们主要分布在低维空间中，如首先让某个维度的方差远小于其它唯独，然后对这些数据旋转。生成这些数据后，用你的PCA方法进行主成分提取。
- 找一个人脸数据（小点样本量），用你实现PCA方法对该数据降维，找出一些主成分，然后用这些主成分对每一副人脸图像进行重建，比较一些它们与原图像有多大差别（用信噪比衡量）。
二、实验环境
- win10
- python 3.7.4
- pycharm 2020.2
三、数学原理
3.1 PCA的目的
P C A ( P r i n c i p a l C o m p o n e n t A n a l y s i s ) PCA(Principal Component Analysis) PCA(PrincipalComponentAnalysis)是一种常用的数据分析方法。它通过线性变换将原始数据用一组线性无关的 b a s e base base来表示，可用于提取数据的主要特征分量，常用于高维数据的降维，以减少资源消耗。
3.2 内积与投影
向量的内积被定义为
( a 1 , a 2 . . . a n ) T ⋅ ( b 1 , b 2 . . . b n ) T = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . a n b n (a_1,a_2...a_n)^T \cdot (b_1,b_2...b_n)^T =a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n (a1,a2...an)T⋅(b1,b2...bn)T=a1b1+a2b2+...anbn
内积运算将两个向量映射为一个实数
它的几何意义在于：相当于一个向量在另一个向量方向上的投影乘以另一个向量的模长
例如，上图中 A = ( a 1 , a 2 ) , B = ( b 1 , b 2 ) A=(a_1,a_2),B=(b_1,b_2) A=(a1,a2),B=(b1,b2)
则 A ⋅ B = ∣ A ∣ c o s α ∣ B ∣ A\cdot B=|A|cos\alpha|B| A⋅B=∣A∣cosα∣B∣，现欲求 A A A向量在 B B B向量方向上的投影（即以该方向上的坐标），即 ∣ A ∣ c o s α = A ⋅ B ∣ B ∣ |A|cos\alpha = \frac{A\cdot B}{|B|} ∣A∣cosα=∣B∣A⋅B，倘若 ∣ B ∣ = 1 |B|=1 ∣B∣=1，则简化为 ∣ A ∣ c o s α = A ⋅ B |A|cos\alpha = A\cdot B ∣A∣cosα=A⋅B
3.3 基变换
我们想要准确描述一个向量，首先需要一组基；然后给出该向量在各个基 b a s e base base方向上的投影即可。而我们对于基的要求就是线性无关且能“张成”对应的向量空间，通常使用正交基，因为正交基拥有一些良好的性质，但是非正交基也可以。
现在介绍基变换，一般的，如果我们有M个N维向量，想将其变换为由R个N维向量表示的新空间中，那么首先将R个基按行组成矩阵A，然后将向量按列组成矩阵B，那么两矩阵的乘积AB就是变换结果，其中AB的第m列为A中第m列变换后的结果。
数学表示为：
( p 1 p 2 ⋮ p R ) ( a 1 a 2 ⋯ a M ) = ( p 1 a 1 p 1 a 2 ⋯ p 1 a M p 2 a 1 p 2 a 2 ⋯ p 2 a M ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ p R a 1 p R a 2 . . . p R a M ) \begin{pmatrix} p_1\\ p_2\\ \vdots \\ p_R \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1&a_2 & \cdots &a_M \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} p_1a_1 &p_1a_2 & \cdots &p_1a_M\\ p_2a_1 &p_2a_2 & \cdots &p_2a_M\\ \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\ p_Ra_1 &p_Ra_2 &... &p_Ra_M\\ \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎛p1p2⋮pR⎠⎟⎟⎟⎞(a1a2⋯aM)=⎝⎜⎜⎜⎛p1a1p2a1⋮pRa1p1a2p2a2⋮pRa2⋯⋯⋱...p1aMp2aM⋮pRaM⎠⎟⎟⎟⎞
其中 p i p_i pi是一个行向量，表示第 i i i个基， a j a_j aj是一个列向量，表示第 j j j个原始数据记录。
特别要注意的是，这里R可以小于N，而R决定了变换后数据的维数。也就是说，我们可以将N维数据变换到更低维度的空间中去，变换后的维度取决于基的数量，因此这种矩阵相乘的表示也可以表示降维变换。
3.4 最大可分性
前面我们已经介绍了内积与投影的关系，以及基变换的知识。那么我们如何才能找到最合适的一组基，并使用它来降维呢？
前面已经得到结论：
我们可以将N维数据变换到更低维度的空间中去，变换后的维度取决于基的数量。
我们想要获得某个向量在一组基上的坐标，只需分别求出该向量在各个基方向上的投影值即可。
而我们希望降维后的数据所保存的信息尽可能多，即降维后各个维度数据内的信息熵越大越好，而信息熵往往和方差有着正相关关系。同时，我们希望降维后各个维度数据之间相互独立，不存在相关关系。
至此，我们得到了降维问题的优化目标：将一组 N 维向量降为 K 维，其目标是选择 K 个单位正交基，使得原始数据变换到这组基上后，各变量两两间协方差为 0，而变量方差则尽可能大（在正交的约束下，取最大的 K 个方差）。
3.5 矩阵对角化
我们现在拥有数据矩阵 X m × n X_{m\times n} Xm×n，则 C n × n = 1 m X X T C_{n\times n} = \frac{1}{m}XX^T Cn×n=m1XXT就是 X X X的协方差矩阵
根据我们的优化条件，我们需要将降维后的数据集的的协方差矩阵对角线外的其他元素化为0，并且在对角线上将元素按从大到小进行排列，再选择最大的前 K K K行即可。
设原始数据集 X X X对应的协方差矩阵为 C C C， P P P是一组基按行组成的矩阵，设 Y Y Y为 X X X做基变换之后的数据矩阵，则 Y = P X Y=PX Y=PX，再设 D D D为 Y Y Y对应的协方差矩阵，有
D = 1 m Y Y T = 1 m ( P X ) ( P X ) T = 1 m P X X T P T = P ( 1 m X X T ) P T = P C P T (1) \begin{aligned} D &=\frac{1}{m} Y Y^{T} \\ &=\frac{1}{m}(P X)(P X)^{T} \\ &=\frac{1}{m} P X X^{T} P^{T} \\ &=P\left(\frac{1}{m} X X^{T}\right) P^{T} \\ &=P C P^{T} \end{aligned} \tag{1} D=m1YYT=m1(PX)(PX)T=m1PXXTPT=P(m1XXT)PT=PCPT(1)
故，我们的优化目标转化为：
- 需要寻找 P P P，满足 P C P T PCP^T PCPT是个对角矩阵，并且对角元素按大小依次排列，那么 P P P的前的前 K K K 行就是要寻找的基。
- 用 P P P 的前 K K K 行组成的矩阵乘以 X X X 就使得 X X X从 N N N 维降到了 K K K 维。
接下来，我们就去寻找这样的 P P P
原始数据 X X X对应的协方差矩阵 C C C是一个对称矩阵，它在线性代数中有一系列非常好的性质：
- 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必然正交。
- 设特征向量 λ \lambda λ的重数为 r r r，则必然存在 r r r个线性无关的特征向量对应于 λ \lambda λ，因此可以将这 λ \lambda λ 个特征向量单位正交化（可利用施密特正交化）。
那么根据上面2条性质，我们可推出定理：
一个 n n n 行 n n n列的实对称矩阵一定可以找到 n n n个单位正交特征向量
将上述定理应用到我们的协方差矩阵 C C C上，得到 n n n个单位正交特征向量 e 1 , e 2 . . . e n e_1,e_2...e_n e1,e2...en，我们将其按列排成矩阵：
E = ( e 1 , e 2 . . . e n ) E = (e_1,e_2...e_n) E=(e1,e2...en)
依据线性代数的知识，我们可以得到：
E T C E = Λ = ( λ 1 λ 2 ⋱ λ n ) (2) E^TCE = \Lambda=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & &\\ &\lambda_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda_n\\ \end{pmatrix} \tag{2} ETCE=Λ=⎝⎜⎜⎛λ1λ2⋱λn⎠⎟⎟⎞(2)
其中 Λ \Lambda Λ为对角矩阵，其对角元素为各特征向量对应的特征值（可能有重复）。
将（2）式和（1）式进行对比，这样，我们就发现了需要的矩阵 P = E T P=E^T P=ET。
-
我们若是想要降到 K K K维，只需要取 P P P的前 K K K行作为 K K K组基即可，也就是 C C C的特征值最大的 K K K个特征向量（已经单位正交化）。
-
Y = P X Y=PX Y=PX就是降维之后的数据矩阵
四、实验过程
4.1 自己生成数据测试
- 生成数据
为了便于可视化，我自己产生的数据就是2维及3维高斯分布数据集。
且为了让这些数据集主要分布在低维空间中，只需让某个维度的方差远远小于其他维度即可。
if data_dimension is 2:
mean = [-3, 4]
# 让某个维度的方差远小于其他维度
cov = [[1, 0], [0, 0.01]]
elif data_dimension is 3:
mean = [2, 8, -5]
cov = [[0.01, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]
else:
assert False
# 产生shape = (D,M)的数据矩阵
data = np.random.multivariate_normal(mean, cov, size=number).T
if data_dimension is 3:
# 绕z轴旋转数据点
data = rotate(data, 40 * np.pi / 180, 'z')
注意，在产生三位数据时，会额外添加一个绕Z轴旋转的操作
- PCA算法
数学原理部分已经在前面叙述过，算法的思路为：
代码如下：
def PCA(data, k):
"""
将数据data从D维降到k维
:param data: 数据矩阵(D*N),D表示维度，N表示样本点的个数
:param k: 把数据降到目标维数
:return: 零均值化之后的数据矩阵，特征值矩阵，均值矩阵, 重构之后的数据矩阵（仍然 D*N）
"""
dim = data.shape[0]
mean = np.mean(data, axis=1)
c_data = np.zeros(data.shape)
for i in range(dim):
# 零均值化后得到c_data (D*N)
c_data[i] = data[i] - mean[i]
# 求出协方差矩阵
covMat = np.dot(c_data, c_data.T)
# 对协方差矩阵covMat(D*D)求特征值和特征向量
# eigenVectors的每一列对应一个特征向量
eigenValues, eigenVectors = np.linalg.eig(covMat)
# 特征值排序
eigValIndex = np.argsort(eigenValues)
# 取前k个特征值对应的特征向量 shape = (D*k)
rightEigenVector = eigenVectors[:, eigValIndex[:-(k + 1):-1]]
# 一旦降维维度超过某个值，特征向量矩阵将出现复向量，对其保留实部
rightEigenVector = np.real(rightEigenVector)
# 计算降维后的数据(K*N)
tmp_data = np.dot(rightEigenVector.T, c_data)
# 重构之后的数据
recon_data = np.zeros(data.shape)
for i in range(dim):
recon_data[i] = np.dot(rightEigenVector[i], tmp_data) + mean[i]
return c_data, rightEigenVector, mean, recon_data
- 降维前后对比
二维情况：
绿色的点表示原始数据，红色的点表示将数据降维后的重构数据，图中直线标明了投影方向，即 P C A PCA PCA寻找到的主成分。
可见我们将二维数据降到一维后，依然能够大致反应出原先各个数据点的位置分布情况，图中蓝色的直线标明了特征值最大的那个特征向量的方向，也就是我们选择作为投影方向的向量。
通过上图的输出情况，可见利用 P C A PCA PCA求出的特征值最大的特征向量与真实值 [ 1 , 0 ] [1, 0] [1,0]极为接近
三维情况：
绿色的点表示原始数据，红色的点表示重构数据，2条直线分别标明了2个特征值最大的特征向量的方向，也就是 P C A PCA PCA所找到的。
我们将上图进行旋转，以便于看清重构数据的分布
可见，我们重构的数据就是处于这2个特征向量所 s p a n span span的线性空间中，这也验证了我们的 P C A PCA PCA算法的原理。
4.2 图像降维测试
- 人脸信息读取
主要利用cv2模块中的方法来进行图像信息读取，再将png图片中的RBG值转换为灰度值，最后将图像数据拉平即可完成。
注意：为了便于后续利用 P C A PCA PCA时计算协方差更加方便，在此处读取图像信息时就对图像进行压缩处理。
for file in file_list:
path = os.path.join(file_path, file)
plt.subplot(2, 2, i)
with open(path) as f:
# 读取图像
img = cv2.imread(path)
# 压缩图像至size大小
img = cv2.resize(img, size)
# RBG图转换为灰度图
img_gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
# 展示灰度值图像
plt.imshow(img_gray)
h, w = img_gray.shape
# 对(h,w)的图像数据拉平
img_col = img_gray.reshape(h * w)
data.append(img_col)
i += 1
本实验所采用的图片均是1024*1024的png格式
- 降维前后对比
降维前（已经将RBG值转换为灰度值）：
降到1维时，可见各个压缩图片之间很接近：
降到2维时，可见能勉强表示出原图像的特征， 但还是有部分图像之间比较接近：
提高到6维时，可见能够较好地表示出原图像地特征：
通过上述图片之间地比较，我们可以发现随着：保留的维度越高，压缩后的图像与原图越接近，也就是说保留了更多的信息。
- 信噪比变化
当然，前面只是从定性角度去分析，下面将从定量角度去分析图像所保留信息的多少和压缩维度之间的关系。
峰值信噪比 P S N R PSNR PSNR经常用作图像压缩等领域中信号重建质量的测量方法，它常简单地通过均方差（MSE）进行定义。两个m×n单色图像I和K，如果一个为另外一个的噪声近似，那么它们的的均方差定义为：
M S E = 1 m n ∑ i = 0 m − 1 ∑ j = 0 n − 1 ∥ I ( i , j ) − K ( i , j ) ∥ 2 M S E=\frac{1}{m n} \sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1}\|I(i, j)-K(i, j)\|^{2} MSE=mn1i=0∑m−1j=0∑n−1∥I(i,j)−K(i,j)∥2
峰值信噪比定义为：
P S N R = 10 ⋅ log 10 ( M A X I 2 M S E ) = 20 ⋅ log 10 ( M A X I M S E ) P S N R=10 \cdot \log _{10}\left(\frac{M A X_{I}^{2}}{M S E}\right)=20 \cdot \log _{10}\left(\frac{M A X_{I}}{\sqrt{M S E}}\right) PSNR=10⋅log10(MSEMAXI2)=20⋅log10(MSEMAXI)
下面我将展示“信噪比”随着“所降低到的维度”变化
可见，随着维度的增大，信噪比同样在增大，说明所保留的信息在增多。
另外，在维度大于4之后，信噪比变化很小，说明我们的图像数据的前4个主成分提供了绝大多数的信息，其余的“次要成分”所能提供的信息十分有限，这也证明了PCA的重要性。
五、实验结论
- PCA算法通过寻找协方差矩阵的特征值最大的K个特征向量，以作为新的一组基，将原数据映射到这一组新的基上来完成数据的降维，也就是说PCA算法可以找到前K个主成分。
- PCA算法提高了样本的采样密度，并且由于较小特征值对应的特征向量往往容易受到噪声的影响，PCA算法舍弃了这部分“次要成分”，一定程度上起到了降噪的效果。
- PCA降低了是在训练集的基础上提取主成分，舍弃“次要成分”； 但是对于测试集而言，被舍弃的也许正好是重要的信息，也就是说PCA可能会加剧过拟合
- PCA可以应用到图像的降维压缩等领域，以提高效率，避免“维度灾难”
六、附录（源代码）
main.py
import basicOperation as Bo
import drawImage as dI
import numpy as np
# 自己生成数据的测试
dimension = 3
N = 100
data = Bo.generate_data(dimension, number=N)
c_data, rightEigenVector, mean, recon_data = Bo.PCA(data, dimension - 1)
for i in range(dimension-1):
print("特征值第"+str(i+1)+"大的特征向量:")
print(rightEigenVector[:, i])
print("Mean vector:")
print(mean)
dI.originVsPCA(dimension, data, recon_data, mean, rightEigenVector)
# 图像处理测试
size = (80, 80)
targetDim = 6
data = Bo.read_faces('Image', size=size)
c_data, rightEigenVector, mean, recon_data = Bo.PCA(data, targetDim)
for i in range(targetDim):
print("特征值第"+str(i+1)+"大的特征向量:")
print(rightEigenVector[:, i])
print("Mean vector:")
print(mean)
dI.drawFace(recon_data, recon_data.shape[1], size)
# 观测降低到不同维度时的psnr变化
dimRange = np.arange(1, 11, 1)
print(data.shape)
dI.psnrChange(data, dimRange)
drawImage.py
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import basicOperation as Bo
def originVsPCA(dimension, origin_data, recon_data, mean, rightEigenVector):
""" 将PCA前后的数据进行可视化对比 """
if dimension == 2:
fig, ax = plt.subplots()
ax.scatter(origin_data[0], origin_data[1], facecolor="green", label="Origin Data")
ax.scatter(recon_data[0], recon_data[1], facecolor='r', label='PCA Data')
x = [mean[0] - 3 * rightEigenVector[0], mean[0] + 3 * rightEigenVector[0]]
y = [mean[1] - 3 * rightEigenVector[1], mean[1] + 3 * rightEigenVector[1]]
ax.plot(x, y, color='blue', label='eigenVector direction', alpha=0.5)
ax.set_title('origin_data And PCA_data', fontsize=16)
ax.set_xlabel('$x$', fontdict={
'size': 14, 'color': 'black'})
ax.set_ylabel('$y$', fontdict={
'size': 14, 'color': 'black'})
elif dimension == 3:
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.scatter(origin_data[0], origin_data[1], origin_data[2], facecolor='green', label='Origin Data')
ax.scatter(recon_data[0], recon_data[1], recon_data[2], facecolor='r', label='PCA Data')
# 画出2条eigen Vector 方向直线
x = [mean[0] - 3 * rightEigenVector[0, 0], mean[0] + 3 * rightEigenVector[0, 0]]
y = [mean[1] - 3 * rightEigenVector[1, 0], mean[1] + 3 * rightEigenVector[1, 0]]
z = [mean[2] - 3 * rightEigenVector[2, 0], mean[2] + 3 * rightEigenVector[2, 0]]
ax.plot(x, y, z, color='blue', label='eigenVector1 direction', alpha=1)
x2 = [mean[0] - 3 * rightEigenVector[0, 1], mean[0] + 3 * rightEigenVector[0, 1]]
y2 = [mean[1] - 3 * rightEigenVector[1, 1], mean[1] + 3 * rightEigenVector[1, 1]]
z2 = [mean[2] - 3 * rightEigenVector[2, 1], mean[2] + 3 * rightEigenVector[2, 1]]
ax.plot(x2, y2, z2, color='purple', label='eigenVector2 direction', alpha=1)
ax.set_title('origin_data And PCA_data', fontsize=16)
ax.set_zlabel('$z$', fontdict={
'size': 14, 'color': 'red'})
ax.set_ylabel('$y$', fontdict={
'size': 14, 'color': 'red'})
ax.set_xlabel('$x$', fontdict={
'size': 14, 'color': 'red'})
else:
assert False
plt.legend()
plt.show()
def drawFace(recon_data, N, size):
"""
画出降维重构之后的图像
"""
plt.figure(figsize=size)
for i in range(N):
plt.subplot(2, 2, i + 1)
plt.imshow(recon_data[:, i].reshape(size))
plt.show()
def psnrChange(origin_data, dimRange):
psnrList = []
for dim in dimRange:
c_data, rightEigenVector, mean, recon_data = Bo.PCA(origin_data, dim)
a = Bo.psnr(origin_data[:, 1], recon_data[:, 1])
psnrList.append(a)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(dimRange, np.array(psnrList), color='r')
ax.set_title('the PSNR change with different Target dimension', fontsize=18)
ax.set_xlabel('$target dimension$', fontdict={
'size': 14, 'color': 'black'})
ax.set_ylabel('$psnr$', fontdict={
'size': 14, 'color': 'black'})
plt.show()
basicOperation.py
from PIL import Image
import cv2
import numpy as np
import math
import os
import matplotlib.pyplot as plt
def generate_data(data_dimension, number=100):
"""
自己生成2维或者3维高斯分布的数据集
:param data_dimension: 数据的维度
:param number: 样本点的数目
:return: D * N 的数据矩阵, D是维度，M是样本数目
"""
if data_dimension is 2:
mean = [-3, 4]
# 让某个维度的方差远小于其他维度
cov = [[1, 0], [0, 0.01]]
elif data_dimension is 3:
mean = [2, 8, -5]
cov = [[0.01, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]
else:
assert False
# 产生shape = (D,M)的数据矩阵
data = np.random.multivariate_normal(mean, cov, size=number).T
# if data_dimension is 3:
# # 绕z轴旋转数据点
# data = rotate(data, 40 * np.pi / 180, 'z')
return data
def rotate(X, theta=0, axis='x'):
"""
:param X: 数据矩阵 X.shape = (D, N)
:param theta: 旋转的弧度
:param axis: 旋转轴，合法值为'x','y'或'z'
:return:
"""
if axis == 'x':
rotate_matrix = [[1, 0, 0], [0, np.cos(theta), -np.sin(theta)], [0, np.sin(theta), np.cos(theta)]]
return np.dot(rotate_matrix, X)
elif axis == 'y':
rotate_matrix = [[np.cos(theta), 0, np.sin(theta)], [0, 1, 0], [-np.sin(theta), 0, np.cos(theta)]]
return np.dot(rotate_matrix, X)
elif axis == 'z':
rotate_matrix = [[np.cos(theta), -np.sin(theta), 0], [np.sin(theta), np.cos(theta), 0], [0, 0, 1]]
return np.dot(rotate_matrix, X)
else:
assert False
def PCA(data, k):
"""
将数据data从D维降到k维
:param data: 数据矩阵(D*N),D表示维度，N表示样本点的个数
:param k: 把数据降到目标维数
:return: 零均值化之后的数据矩阵，特征值矩阵，均值矩阵, 重构之后的数据矩阵（仍然 D*N）
"""
dim = data.shape[0]
mean = np.mean(data, axis=1)
c_data = np.zeros(data.shape)
for i in range(dim):
# 零均值化后得到c_data (D*N)
c_data[i] = data[i] - mean[i]
# 求出协方差矩阵
covMat = np.dot(c_data, c_data.T)
# 对协方差矩阵covMat(D*D)求特征值和特征向量
# eigenVectors的每一列对应一个特征向量
eigenValues, eigenVectors = np.linalg.eig(covMat)
# 特征值排序
eigValIndex = np.argsort(eigenValues)
# 取前k个特征值对应的特征向量 shape = (D*k)
rightEigenVector = eigenVectors[:, eigValIndex[:-(k + 1):-1]]
# 一旦降维维度超过某个值，特征向量矩阵将出现复向量，对其保留实部
rightEigenVector = np.real(rightEigenVector)
# 计算降维后的数据(K*N)
tmp_data = np.dot(rightEigenVector.T, c_data)
# 重构之后的数据
recon_data = np.zeros(data.shape)
for i in range(dim):
recon_data[i] = np.dot(rightEigenVector[i], tmp_data) + mean[i]
return c_data, rightEigenVector, mean, recon_data
def read_faces(file_path, size):
"""
从图像文件中读取人脸数据
:param file_path: 文件路径
:param size: 压缩读取的大小
:return: 人脸数据矩阵 （D*N）D表示维度，N表示样本点数目
"""
file_list = os.listdir(file_path)
data = []
i = 1
plt.figure(figsize=size)
for file in file_list:
path = os.path.join(file_path, file)
plt.subplot(2, 2, i)
with open(path) as f:
# 读取图像
img = cv2.imread(path)
# 压缩图像至size大小
img = cv2.resize(img, size)
# RBG图转换为灰度图
img_gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
# 展示灰度值图像
plt.imshow(img_gray)
h, w = img_gray.shape
# 对(h,w)的图像数据拉平
img_col = img_gray.reshape(h * w)
data.append(img_col)
i += 1
plt.show()
return np.array(data).T
def psnr(img1Data, img2Data):
mse = np.mean((img1Data / 255. - img2Data / 255.) ** 2)
if mse < 1.0e-10:
return 100
PIXEL_MAX = 1
# 使用的信噪比公式为20 log_10^(MAX/sqrt(MSE))
return 20 * math.log10(PIXEL_MAX / math.sqrt(mse))