数字信号处理 3.3 — DTFT 的定义及性质

目录

1. DTFT 的定义式

2. DTFT 的性质

(1)周期性

(2)复数特性

(3)共轭对称性

(4)收敛性

(5)线性性质

(6)反折性质

 (7)时移性质

(8)频移性质

(9)频域微分性质

(10)卷积性质

(11)调制性质

(12)帕塞瓦尔关系式

3. 性质的应用

 (1)卷积性质的应用

(2)频移性质的应用

(3)线性性质和频域微分性质的应用

(4)帕塞瓦尔关系式的应用

参考资料


1. DTFT 的定义式

DTFT(离散时间信号傅里叶变换):一个在时域内不连续的信号 x[n] 被使用 X(e^{jw}) 来表示,即一个函数可以表示为级数表达式

当得知频域内的信号表达式时,使用下面的方法来表示时域信号,即为傅里叶反变换:

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可以认为,反变换定义式使得任何序列可以被分解为指数序列\mathbf{e^{jwn}} 的加权相加

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2. DTFT 的性质

(1)周期性

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可以看出,经过 DTFT ,信号为周期函数,其周期为 2pi ,傅里叶级数的系数为 x[n], 即累积的级数的权值;一般来说由于其周期性,我们研究的过程中关注的多是其一个周期内部的变化

(2)复数特性

一般来说,经过 DTFT 得到的 X(e^(jw))是复数形式,可以使用下面的式子表示:

也可以使用极坐标来表示:

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可以看出极坐标形式的变换包括幅度值和相位,都和原来的式子有关

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上图中表示,相位函数并不是唯一的,经过 2pi 的周期后相位函数还是和原来的函数一样,所以一般将相位角约束在 [-pi,pi]之间

(3)共轭对称性

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一般经过离散时间傅里叶变换后变为如上所示的复数函数

可以看出原序列的偶部对应变换后的函数的实部,原函数的奇部对应变换后的函数的虚部 ,那么是什么原因造成这种情况呢

是因为满足共轭对称性:

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即实部(幅度)为一个偶函数,虚部(相位)为一个奇函数

(4)收敛性

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定义式在数学表达式上是一个无穷级数和,所以在收敛方面存在问题

数字信号处理 3.3 — DTFT 的定义及性质_第9张图片

 当级数求和的范围取为有限的时,该级数肯定收敛,收敛方式主要有以下两种:

a: 一致收敛

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即当 K 趋于无穷大时,两函数的误差趋近于 0

b:均方收敛

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即误差的模的平方随着K的增大在一周内趋于0

当原序列 x[n] 绝对可求和时一定可以使变换收敛,即:

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数字信号处理 3.3 — DTFT 的定义及性质_第14张图片

所以也可以说,序列绝对可求和是 DTFT 存在的充分条件,由上图可知,绝对可求和的序列一定属于平方可求和,即绝对可求和强于平方可求和

(5)线性性质

时域的线性组合在频域也满足相应的组合

可以使用定义式进行证明

(6)反折性质

时域取反,那么频域也可以取反

 (7)时移性质

将原信号在时域进行移动,那么在频域内相位发生变化

(8)频移性质

在频域内对该信号进行搬移,那么在时域内就是对其乘以一个指数量,可以从定义式进行推导

(9)频域微分性质

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时域内对信号乘以时域变量 n ,那么频域内对频谱求导再乘以 j

(10)卷积性质

时域内两信号相卷,在频域内可以理解为两个信号相乘,可以将卷积运算转化为傅里叶变化后的乘积运算

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(11)调制性质

时域相乘,频域相卷

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由于频域内是周期函数,所以卷积运算过程中的积分范围为一个周期

(12)帕塞瓦尔关系式

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3. 性质的应用

 (1)卷积性质的应用

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时域内相卷的运算,需要大量的运算量,将其转化为频域内的相乘,可以简化运算

(2)频移性质的应用

数字信号处理 3.3 — DTFT 的定义及性质_第20张图片

计算 y[n] 的 DTFT ,首先将其转化为常见的序列,再通过频移性质以及常见序列的变化获得结果

(3)线性性质和频域微分性质的应用

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 计算 y[n] 的 DTFT ,首先通过线性性质将其转化为较为简单的和的性质,通过频域微分性质和常见序列的应用得到转化后的频域表达式

(4)帕塞瓦尔关系式的应用

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计算 h[n] 的 能量,使用帕塞瓦尔表达式将其能量通过频域一个周期内的积分计算出来

由于信号频域幅度的平方代表序列的能量在频域内的分布规律,所以幅度谱平方定义为能量谱密度函数

参考资料


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