数字信号处理 3.3 — DTFT 的定义及性质

目录

1. DTFT 的定义式

2. DTFT 的性质

（1）周期性

（2）复数特性

（3）共轭对称性

（4）收敛性

（5）线性性质

（6）反折性质

 （7）时移性质

（8）频移性质

（9）频域微分性质

（10）卷积性质

（11）调制性质

（12）帕塞瓦尔关系式

3. 性质的应用

 （1）卷积性质的应用

（2）频移性质的应用

（3）线性性质和频域微分性质的应用

（4）帕塞瓦尔关系式的应用

参考资料

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1. DTFT 的定义式

DTFT（离散时间信号傅里叶变换）：一个在时域内不连续的信号 被使用 来表示，即一个函数可以表示为级数表达式

当得知频域内的信号表达式时，使用下面的方法来表示时域信号，即为傅里叶反变换：

可以认为，反变换定义式使得任何序列可以被分解为指数序列 的加权相加

2. DTFT 的性质

（1）周期性

可以看出，经过 DTFT ，信号为周期函数，其周期为 2pi ，傅里叶级数的系数为 x[n], 即累积的级数的权值；一般来说由于其周期性，我们研究的过程中关注的多是其一个周期内部的变化

（2）复数特性

一般来说，经过 DTFT 得到的 X(e^(jw))是复数形式，可以使用下面的式子表示：

也可以使用极坐标来表示：

可以看出极坐标形式的变换包括幅度值和相位，都和原来的式子有关

上图中表示，相位函数并不是唯一的，经过 2pi 的周期后相位函数还是和原来的函数一样，所以一般将相位角约束在 [-pi,pi]之间

（3）共轭对称性

一般经过离散时间傅里叶变换后变为如上所示的复数函数

可以看出原序列的偶部对应变换后的函数的实部，原函数的奇部对应变换后的函数的虚部 ，那么是什么原因造成这种情况呢

是因为满足共轭对称性：

即实部（幅度）为一个偶函数，虚部（相位）为一个奇函数

（4）收敛性

定义式在数学表达式上是一个无穷级数和，所以在收敛方面存在问题

 当级数求和的范围取为有限的时，该级数肯定收敛，收敛方式主要有以下两种：

a: 一致收敛

即当 K 趋于无穷大时，两函数的误差趋近于 0

b:均方收敛

即误差的模的平方随着K的增大在一周内趋于0

当原序列 x[n] 绝对可求和时一定可以使变换收敛，即：

所以也可以说，序列绝对可求和是 DTFT 存在的充分条件，由上图可知，绝对可求和的序列一定属于平方可求和，即绝对可求和强于平方可求和

（5）线性性质

时域的线性组合在频域也满足相应的组合

可以使用定义式进行证明

（6）反折性质

时域取反，那么频域也可以取反

 （7）时移性质

将原信号在时域进行移动，那么在频域内相位发生变化

（8）频移性质

在频域内对该信号进行搬移，那么在时域内就是对其乘以一个指数量，可以从定义式进行推导

（9）频域微分性质

时域内对信号乘以时域变量 n ,那么频域内对频谱求导再乘以 j

（10）卷积性质

时域内两信号相卷，在频域内可以理解为两个信号相乘，可以将卷积运算转化为傅里叶变化后的乘积运算

（11）调制性质

时域相乘，频域相卷

由于频域内是周期函数，所以卷积运算过程中的积分范围为一个周期

（12）帕塞瓦尔关系式

3. 性质的应用

 （1）卷积性质的应用

时域内相卷的运算，需要大量的运算量，将其转化为频域内的相乘，可以简化运算

（2）频移性质的应用

计算 y[n] 的 DTFT ，首先将其转化为常见的序列，再通过频移性质以及常见序列的变化获得结果

（3）线性性质和频域微分性质的应用

 计算 y[n] 的 DTFT ，首先通过线性性质将其转化为较为简单的和的性质，通过频域微分性质和常见序列的应用得到转化后的频域表达式

（4）帕塞瓦尔关系式的应用

计算 h[n] 的 能量，使用帕塞瓦尔表达式将其能量通过频域一个周期内的积分计算出来

由于信号频域幅度的平方代表序列的能量在频域内的分布规律，所以幅度谱平方定义为能量谱密度函数

参考资料

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