第3章 函数
第3章 函数
一、函数的基本概念
1.映射(函数)的基本概念
设X和Y是两个非空的集合，f是一个规则，如果x的每个元素x在规则f下都存在Y的唯一元素y与之对应，则称f是X到Y的一个映射(或函数),记为 y= f(x)
其中y称为x关于f的像，而x称为y关于f的原像
例 判断下列关系是否能确定一个映射?
f = { ( x , y ) ∣ x , y ∈ N , x + y = 10 } f=\{(x, y) \mid x, y \in N, x+y=10\} f={ (x,y)∣x,y∈N,x+y=10}
不能。因为有些元素没有像，比如x=20,没有y∈N,使(20,y) ∈f
f = { ( x , y ) ∣ x , y ∈ R , x ≥ 0 , y 2 = x } f=\left\{(x, y) \mid x, y \in R, x \geq 0, y^{2}=x\right\} f={ (x,y)∣x,y∈R,x≥0,y2=x}
不能。因为有些元素有多个像，比如x=16, (16,土4) ∈f
f = { ( x , y ) ∣ x , y ∈ N − { 0 } , y 是 ≤ x 且与 x 互素的整数个数 } f=\{(x, y) \mid x, y \in N-\{0\}, y \text { 是 } \leq x \text { 且与 } x \text { 互素的整数个数 }\} f={ (x,y)∣x,y∈N−{ 0},y 是 ≤x 且与 x 互素的整数个数 }
能。因为 ≤ x \leq x ≤x且与x互素的正整数个数y是唯一确定的
例 设有映射 f : X → Y f:X \rightarrow Y f:X→Y, A, B是X的两个非空子集
(1) 证明 f ( A ∪ B ) = f ( A ) ∪ f ( B ) f(A \cup B)=f(A) \cup f(B) f(A∪B)=f(A)∪f(B)
∀ y ∈ f ( A ∪ B ) ⇔ 存在 x ∈ A ∪ B , 使 y = f ( x ) ⇔ { x ∈ A 时, y = f ( x ) ⇒ y ∈ f ( A ) x ∈ B 时, y = f ( x ) ⇒ y ∈ f ( B ) ⇔ y ∈ f ( A ) ∪ f ( B ) \begin{aligned} \forall y \in f(A \cup B) & \Leftrightarrow \text { 存在 } x \in A \cup B, \text { 使 } y=f(x) \\ & \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x \in A \text { 时, } y=f(x) \Rightarrow y \in f(A) \\ x \in B \text { 时, } y=f(x) \Rightarrow y \in f(B) \end{array}\right.\\ & \Leftrightarrow y \in f(A) \cup f(B) \end{aligned} ∀y∈f(A∪B)⇔ 存在 x∈A∪B, 使 y=f(x)⇔{ x∈A 时, y=f(x)⇒y∈f(A)x∈B 时, y=f(x)⇒y∈f(B)⇔y∈f(A)∪f(B)
(2) f ( A ) ∩ f ( B ) = f ( A ∩ B ) f(A) \cap f(B)=f(A \cap B) f(A)∩f(B)=f(A∩B) 恒成立吗？
不能恒成立
例如，令X={a,b,c,d}，Y={1,2}, 定义映射f如下
取A={a,b,c}，B={b,d}，则 f(A)∩f(B)=Y, f(A∩B)={1}，则题意不成立
(3) f ( X − A ) = f ( X ) − f ( A ) f(X-A)=f(X)-f(A) f(X−A)=f(X)−f(A) 恒成立吗？
不能恒成立
如在上面例子中取A={a,c}，则 X − A = b , d , f ( X − A ) = Y , f ( X ) − f ( A ) = ∅ X-A={b,d}, f(X-A)=Y, f(X)-f(A)=\emptyset X−A=b,d,f(X−A)=Y,f(X)−f(A)=∅
2.特殊映射
如果对任意x1，x2∈X,当x1≠x2时，都有f(x1)≠f(x2),则称f是单射
设f是集合X到集合Y的映射，如果C(f)=Y,即C(f)= f(X)={f(x):x∈X}=Y(这表明Y的每个元素都有原像)，则称f是满射
如果f既是满射又是单射，则称f是双射或一一对应
例 设X与Y是有限集，f是X到Y的映射
令 X = { x 1 , x 2 , ⋯ , x m } , Y = { y 1 , y 2 , ⋯ , y n } X=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}\right\}, Y=\left\{y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right\} X={ x1,x2,⋯,xm},Y={ y1,y2,⋯,yn}
则 C ( f ) = f ( X ) = { f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , ⋯ , f ( x m ) } ⊆ Y C(f)=f(X)=\left\{f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \cdots, f\left(x_{m}\right)\right\} \subseteq Y C(f)=f(X)={ f(x1),f(x2),⋯,f(xm)}⊆Y
(1) 如果f是单射，则|X|≤|Y|
∣ X ∣ = m = ∣ { f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , ⋯ , f ( x m ) } ∣ ≤ ∣ Y ∣ |X|=m=\left|\left\{f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \cdots, f\left(x_{m}\right)\right\}\right| \leq|Y| ∣X∣=m=∣{ f(x1),f(x2),⋯,f(xm)}∣≤∣Y∣
(2) 如果f是满射，则|X|≥|Y|
{ f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , ⋯ , f ( x m ) } = Y \left\{f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \cdots, f\left(x_{m}\right)\right\}=Y { f(x1),f(x2),⋯,f(xm)}=Y
∣ X ∣ = m ≥ ∣ { f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , ⋯ , f ( x m ) } ∣ = ∣ Y ∣ |X|=m \geq\left|\left\{f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \cdots, f\left(x_{m}\right)\right\}\right|=|Y| ∣X∣=m≥∣{ f(x1),f(x2),⋯,f(xm)}∣=∣Y∣
二、复合函数与反函数
1.复合映射(函数)
设f是X到Y的映射，h是Y到Z的映射，利用f和h定义一个新的映射，记为 h ∘ f h\circ f h∘f 如下
h ∘ f : X → Z h \circ f: X \rightarrow Z h∘f:X→Z
h ∘ f ( x ) = h ( f ( x ) ) , ∀ x ∈ X h \circ f(x)=h(f(x)), \quad \forall x \in X h∘f(x)=h(f(x)),∀x∈X
称 h ∘ f h\circ f h∘f 是映射f与映射h的复合映射(复合函数)
2.逆映射(反函数)
设f是X到Y的双射，利用f定义映射 f − 1 f^{-1} f−1 如下
f − 1 : Y → X f^{-1}: Y \rightarrow X f−1:Y→X
f − 1 ( y ) = x ⇔ y = f ( x ) f^{-1}(y)=x \Leftrightarrow y=f(x) f−1(y)=x⇔y=f(x)
称 f − 1 f^{-1} f−1 是映射(函数)f的逆映射(反函数)
原像与像交换位置