第十二届蓝桥杯 2021年国赛真题 (Java 大学C组)

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先挂题，有时间就写完

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#A 整数范围

本题总分：5 分

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问题描述

用 $8$ 位二进制（一个字节）来表示一个非负整数，表示的最小值是 $0$，则一般能表示的最大值是多少？

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答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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255

calcCode：

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
     
        System.out.print(0xFF);
    }
}

?

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#B 带宽

本题总分：5 分

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问题描述

小蓝家的网络带宽是 $200$ Mbps，请问，使用小蓝家的网络理论上每秒钟最多可以从网上下载多少 MB 的内容。

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答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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25

calcCode：

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
     
        System.out.print(200 >> 3);
    }
}

ps 就是 per second，然后 1Mb = 8MB
就我感觉这题出的必被骂

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#C 纯质数

本题总分：10 分

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问题描述

如果一个正整数只有 $1$ 和它本身两个约数，则称为一个质数（又称素数）。
前几个质数是：$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,\cdot \cdot \cdot$ 。
如果一个质数的所有十进制数位都是质数，我们称它为纯质数。例如：$2,3,5,7,23,37$ 都是纯质数，而 $11,13,17,19,29,31$ 不是纯质数。当然 $1,4,35$ 也不是纯质数。
请问，在 $1$ 到 $20210605$ 中，有多少个纯质数？

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答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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1903

calcCode：

public class Test {
     

    static final int n = 20210605, helper[] = {
      2, 3, 5, 7 };
    static boolean[] marked = new boolean[n + 1];

    public static void main(String[] args) {
     
        for (int i = 2; i <= n; i++)
            if (!marked[i])
                for (int j = i << 1; j <= n; j += i)
                    marked[j] = true;
        System.out.println(dfs(0, 0) - 1);
    }

    static int dfs(int depth, int k) {
     
        if (depth == 8) return (k <= n && !marked[k]) ? 1 : 0;
        int ans = marked[k]? 0: 1;
        for (int i = 0; i < 4; i++)
            ans += dfs(depth + 1, k * 10 + helper[i]);
        return ans;
    }
}

打表

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#D 完全日期

本题总分：10 分

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问题描述

如果一个日期中年月日的各位数字之和是完全平方数，则称为一个完全日期。
例如：$2021$ 年 $6$ 月 $5$ 日的各位数字之和为 $2+0+2+1+6+5=16$，而$16$ 是一个完全平方数，它是 $4$ 的平方。所以 $2021$ 年 $6$ 月 $5$ 日是一个完全日期。
例如：$2021$ 年 $6$ 月 $23$ 日的各位数字之和为 $2+0+2+1+6+2+3=16$，是一个完全平方数。所以 $2021$ 年 $6$ 月 $23$ 日也是一个完全日期。
请问，从 $2001$ 年 $1$ 月 $1$ 日到 $2021$ 年 $12$ 月 $31$ 日中，一共有多少个完全日期？

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答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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977

calcCode：

import java.time.LocalDate;

public class Test {
     

    public static void main(String[] args) {
     
        LocalDate start = LocalDate.of(2000, 12, 31);
        LocalDate end = LocalDate.of(2021, 12, 31);
        int ans = 0;
        while((start = start.plusDays(1)).compareTo(end) <= 0)
            if (check(start.toString())) ans++;
        System.out.println(ans);
    }

    static boolean check(String date) {
     
        int buff = 2;
        for (int i = 0; i < 10; i++)
            buff += Character.digit(date.charAt(i), 10);
        return buff == 3 * 3 || buff == 4 * 4 || buff == 5 * 5;
    }
}

最大是 20190929 最小是 20010101 也就是，它们组成的完全平方数在 3 4 5 的平方当中
本来想用 Stream 写的，但真去下手才发现自己的 Stream 学的真不像个东西

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#E 最小权值

本题总分：15 分

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问题描述

对于一棵有根二叉树 $T$，小蓝定义这棵树中结点的权值 $W(T)$ 如下：
空子树的权值为 $0$。
如果一个结点 $v$ 有左子树 $L$, 右子树 $R$，分别有 $C(L)$ 和 $C(R)$ 个结点，则 $W(v)=1+2W(L)+3W(R)+(C(L){)}^{2}C(R)$。
树的权值定义为树的根结点的权值。
小蓝想知道，对于一棵有 $2021$ 个结点的二叉树，树的权值最小可能是多少？

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答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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2653631372

calcCode：

public class Test {
     

    static final int n = 2021;

    public static void main(String[] args) {
     
        long dp[] = new long[n + 1];
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
     
            dp[k] = Long.MAX_VALUE;
            for (int i = 0, j = k - 1; j >= 0; i++, j--)
                dp[k] = min(dp[k], 1 + 2 * dp[i] + 3 * dp[j] + i * i * j);
        }
        System.out.println(dp[2021]);
    }

    static long min(long a, long b) {
      return a < b ? a : b; }
}

我没有文化，我只是个大专

但这种可以用简单 dp 解决的还是蛮舒服的

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#F 大写

时间限制: 1.0s 内存限制: 512.0MB 本题总分：15 分

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问题描述

给定一个只包含大写字母和小写字母的字符串，请将其中所有的小写字母转换成大写字母后将字符串输出。

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输入格式

输入一行包含一个字符串。

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输出格式

输出转换成大写后的字符串。

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测试样例₁

Input：
LanQiao

Output：
LANQIAO

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评测用例规模与约定

对于所有评测用例，字符串的长度不超过 $100$。

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code：

public class Main {
     

    public static void main(String[] args) {
     
        System.out.println(new java.util.Scanner(System.in).next().toUpperCase());
    }
}

我就纳闷了，一天被这样连骂两次

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#G 123

时间限制: 5.0s 内存限制: 512.0MB 本题总分：20 分

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问题描述

小蓝发现了一个有趣的数列，这个数列的前几项如下：
$1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,...$
小蓝发现，这个数列前 $1$ 项是整数 $1$，接下来 $2$ 项是整数 $1$ 至 $2$，接下来 $3$ 项是整数 $1$ 至 $3$，接下来 $4$ 项是整数 $1$ 至 $4$，依次类推。
小蓝想知道，这个数列中，连续一段的和是多少。

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输入格式

输入的第一行包含一个整数 $T$，表示询问的个数。
接下来 $T$ 行，每行包含一组询问，其中第 $i$ 行包含两个整数 $l_i$ 和 $r_i$，表示
询问数列中第 $l_i$ 个数到第 $r_i$ 个数的和。

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输出格式

输出 T 行，每行包含一个整数表示对应询问的答案。

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测试样例₁

Input：
3
1 1
1 3
5 8

Output：
1
4
8

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评测用例规模与约定

对于 $10$% 的评测用例，$1\le T\le 30,1\le l_i\le r_i\le 100$。
对于 $20$% 的评测用例，$1\le T\le 100,1\le l_i\le r_i\le 1000$。
对于 $40$% 的评测用例，$1\le T\le 1000,1\le l_i\le r_i\le 10^6$。
对于 $70$% 的评测用例，$1\le T\le 10000,1\le l_i\le r_i\le 10^9$。
对于 $80$% 的评测用例，$1\le T\le 1000,1\le l_i\le r_i\le 10^{12}$。
对于 $90$% 的评测用例，$1\le T\le 10000,1\le l_i\le r_i\le 10^{12}$。
对于所有评测用例，$1\le T\le 100000,1\le l_i\le r_i\le 10^{12}$。

code：

import java.io.*;
import java.util.StringTokenizer;

public class Main {
     

    static int n = (int)Math.sqrt(2E12) + 1;
    static long[] row = new long[n], col = new long[n];

    public static void main(String[] args) {
     
        InputReader in = new InputReader(System.in);
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        long T = in.nextLong(), buf;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
     
            row[i] = i + row[i - 1];
            col[i] = col[i - 1] + row[i];
        }
        while (T-- > 0) {
     
            buf = in.nextLong();
            out.println(sum(in.nextLong()) - sum(buf - 1));
        }
        out.flush();
    }

    static long sum(long r) {
     
        int k = lower_bound(r);
        return r == row[k] ? col[k] : col[k - 1] + row[(int)(r - row[k - 1])];
    }

    static int lower_bound(long k) {
     
        int left = 0, right = n - 1, mid;
        while (left < right) {
     
            mid = left + right >> 1;
            if (row[mid] >= k) right = mid;
            else left = mid + 1;
        }
        return left;
    }

    static class InputReader {
     

        BufferedReader read;
        StringTokenizer tok;
        String delimiters;

        InputReader(InputStream in) {
      this(in, " \n\t\r\f"); }

        InputReader(InputStream in, String delimiters) {
     
            this.read = new BufferedReader(new InputStreamReader(in));
            this.delimiters = delimiters;
        }

        String next() {
     
            while (tok == null || !tok.hasMoreTokens())
                try {
     
                    tok = new StringTokenizer(read.readLine(), delimiters);
                } catch (IOException e) {
     
                    e.fillInStackTrace();
                }
            return tok.nextToken();
        }

        long nextLong() {
      return Long.parseLong(next()); }
    }
}

虽然感觉是简单数学
只能说 不会

用了 前缀和+二分+快速输入
只能说 蓝桥来作用了

去年在这的是几乎爆杀所有人的皮亚诺曲线

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#H 异或变换

时间限制: 3.0s 内存限制: 512.0MB 本题总分：20 分

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问题描述

小蓝有一个 $01$ 串 $s=s_1{s}_2{s}_3\cdot \cdot \cdot s_n$。
以后每个时刻，小蓝要对这个 $01$ 串进行一次变换。每次变换的规则相同。
对于 $01$ 串 $s=s_1{s}_2{s}_3\cdot \cdot \cdot s_n$，变换后的 $01$ 串 $s\prime =s{\prime }_{1}s{\prime }_{2}s{\prime }_3\cdot \cdot \cdot s{\prime }_n$ 为：
$s{\prime }_1=s_1$;
$s{\prime }_i=s_{i-1}\oplus s_i$。
其中 $a\oplus b$ 表示两个二进制的异或，当 $a$ 和 $b$ 相同时结果为 $0$，当 a 和 b
不同时结果为 $1$。
请问，经过 $t$ 次变换后的 $01$ 串是什么？

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输入格式

输入的第一行包含两个整数 $n,t$，分别表示 $01$ 串的长度和变换的次数。
第二行包含一个长度为 $n$ 的 $01$ 串。

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输出格式

输出一行包含一个 $01$ 串，为变换后的串。

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测试样例₁

Input：
5 3
10110

Output：
11010

Explanation：
初始时为 10110，变换 1 次后变为 11101，变换 2 次后变为 10011，变换 3 次后变为 11010。

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评测用例规模与约定

对于 $40$% 的评测用例，$1\le n\le 100,1\le t\le 1000$。
对于 $80$% 的评测用例，$1\le n\le 1000,1\le t\le 10^9$。
对于所有评测用例，$1\le n\le 10000,1\le t\le 10^{18}$。

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code：

// 没啥思路，暴力骗分不想写

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#I 冰山

时间限制: 5.0s 内存限制: 512.0MB 本题总分：25 分

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问题描述

一片海域上有一些冰山，第 $i$ 座冰山的体积为 $V_i$。
随着气温的变化，冰山的体积可能增大或缩小。第 $i$ 天，每座冰山的变化量都是 $X_i$。当 $X_i>0$ 时，所有冰山体积增加 $X_i$；当 $X_i<0$ 时，所有冰山体积减少 $-X_i$；当 $X_i=0$ 时，所有冰山体积不变。
如果第 $i$ 天某座冰山的体积变化后小于等于 $0$，则冰山会永远消失。
冰山有大小限制 $k$。如果第 $i$ 天某座冰山 $j$ 的体积变化后 $V_j$ 大于 $k$，则它会分裂成一个体积为 $k$ 的冰山和 $V_j-k$ 座体积为 $1$ 的冰山。
第 $i$ 天结束前（冰山增大、缩小、消失、分裂完成后），会漂来一座体积为 $Y_i$ 的冰山（$Y_i=0$ 表示没有冰山漂来）。
小蓝在连续的 $m$ 天对这片海域进行了观察，并准确记录了冰山的变化。小蓝想知道，每天结束时所有冰山的体积之和（包括新漂来的）是多少。
由于答案可能很大，请输出答案除以 $998244353$ 的余数。

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输入格式

输入的第一行包含三个整数 $n,m,k$，分别表示初始时冰山的数量、观察的天数以及冰山的大小限制。
第二行包含 $n$ 个整数 $V_1,V_2,\cdot \cdot \cdot ,V_n$，表示初始时每座冰山的体积。
接下来 $m$ 行描述观察的 $m$ 天的冰山变化。其中第 $i$ 行包含两个整数 $X_i,Y_i$，意义如前所述。

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输出格式

输出 $m$ 行，每行包含一个整数，分别对应每天结束时所有冰山的体积之和除以 $998244353$ 的余数。

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测试样例₁

Input：
1 3 6
1
6 1
2 2
-1 1

Output：
8
16
11

Explanation：
在本样例说明中，用 [a1, a2, · · · , an] 来表示每座冰山的体积。
初始时的冰山为 [1]。
第 1 天结束时，有 3 座冰山：[1, 1, 6]。
第 2 天结束时，有 6 座冰山：[1, 1, 2, 3, 3, 6]。
第 3 天结束时，有 5 座冰山：[1, 1, 2, 2, 5]。

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评测用例规模与约定

对于 $40$% 的评测用例，$n,m,k\le 2000$；
对于 $60$% 的评测用例，$n,m,k\le 20000$；
对于所有评测用例，$1\le n,m\le 100000,1\le k\le 10^9,1\le V_i\le k,0\le Y_i\le k,-k\le X_i\le k$。

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code：

// 5s, 写个大模拟就够了，不想写

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#J 二进制问题

时间限制: 1.0s 内存限制: 512.0MB 本题总分：25 分

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问题描述

小蓝最近在学习二进制。他想知道 $1$ 到 $N$ 中有多少个数满足其二进制表示中恰好有 $K$ 个 $1$。你能帮助他吗？

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输入格式

输入一行包含两个整数 $N$ 和 $K$。

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输出格式

输出一个整数表示答案。

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测试样例₁

Input：
7 2

Output：
3

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评测用例规模与约定

对于 30% 的评测用例，$1\le N\le 10^6,1\le K\le 10$。
对于 60% 的评测用例，$1\le N\le 2\times 10^9,1\le K\le 30$。
对于所有评测用例，$1\le N\le 10^{18},1\le K\le 50$。

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code：

import java.util.Scanner;

public class Main {
     

    static int[][] dp = new int[65][65];

    public static void main(String[] args) {
     
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        long n = in.nextLong(), ans = 0;
        int k = in.nextInt();
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= 64; i++)
            for (int j = 1; j <= 64; j++)
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1];
        for (int i = 63; i >= 0; i--) {
     
            if ((n >> i & 1) == 1) ans += dp[i + 1][k-- + 1];
            if (k == 0) {
      ans++; break; }
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

n = 13 k = 2
toBinary(n) = 0b1101
设我们需要完成函数 f(n, k) 举例：

f(0b1101, 2) = f(0b111, 2) + (f(0b101, 1) = …)

f(0b0111, 2) = $\{2^2,2^1,2^0\}$ 中 选择 K = 2 个元素所能组成的子集个数

简单数学