二叉树的详解(你值得拥有)
二哈：汪汪汪汪汪汪->首先祝所有的程序猿节日快乐，为你们献上二叉树相关的知识
二叉树
文章目录
- 二叉树
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- 树型
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- 什么是树
- 树的概念
- 树型的表达
- 二叉树的定义
-
- 什么是二叉树
- 两种特殊的二叉树
- 二叉树性质
- 二叉树的存储
- 二叉树的遍历实现
-
- 前序遍历
-
- 递归实现
- 非递归实现
- 中序遍历
-
- 递归实现
- 非递归实现
- 后序遍历
-
- 递归遍历
- 非递归遍历
- 二叉树的层次遍历
树型
什么是树
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合，n等于0时为空树，将其叫为树是因为他看起来像一颗倒挂的树，意思就是它的根朝上，其叶子朝下，因此也具备以下特点：
1. 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点。
2. 除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3. 树是递归定义的。
树的概念
1. 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为2。
2. 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为2。
叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：D E F G节点为叶节点。
3. 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点，B是D和E的节点。
4. 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点，F和G是C的孩子结点。
5. 根结点：一颗树中没有双亲结点的结点就叫为根结点，如图：A。
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
6. 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为3。
注意：上面指出的概念是最基础的同时也是最重要的，我们必须将其记住，而以下的概念只需要了解即可：
非终端节点或分支节点：度不为0的节点。
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点。
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟。
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点。
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林
树型的表达
一般来说，树的结构类型比线性结构复杂许多，其存储难度也更加的复杂，实际中树的存储有许多种如：双亲表示法，孩子表示法等，我这里就讲最常用的孩子兄弟表示法
class TreeNode{
int val;
TreeNode firstChild;
TreeNode nextBrother;
}
二叉树的定义
什么是二叉树
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵互不相交的，分别称为左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：
- 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
- 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
两种特殊的二叉树
1. 满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树性质
1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点。
2. 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)。
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2+1。
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为上取整。
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1
二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
其中我们只要侧重于二叉树的链式存储：二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：
// 孩子表示法
class TreeNode {
int val; // 数据域
TreeNode left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
TreeNode right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class TreeNode {
int val; // 数据域
TreeNode left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
TreeNode right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
TreeNode parent; // 当前节点的根节点
}
一般来说：我们使用最为普遍的还是孩子表示法
二叉树的遍历实现
所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进
行其它运算之基础。
**在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种
规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代
表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
- NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
- LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
- LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。**
前序遍历
前序遍历就是先访问根结点再访问根的左孩子最后再访问根的右孩子
如图：
递归实现
核心代码如下：
class TreeNode {
int val; // 数据域
TreeNode left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
TreeNode right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
public TreeNode(int val){
this.val=val;
}
}
public class Main {
//先序遍历
public void preOrderTraversal(TreeNode root){
//如果该根结点为空则返回；
if (root==null){
return;
}
System.out.println(root.val);//访问根结点
preOrderTraversal(root.left);//开始递归该根的左孩子
preOrderTraversal(root.right);//开始递归该根的右孩子
}
}
如例题：二叉树的前序遍历
主要思路：该题主要考查我们对二叉树前序遍历的熟悉程度不过我们得注意其返回类型为List，所以如果我们使用递归时则需要接收他们的返回类型
代码如下：
class Solution {
public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
List<Integer> ret=new LinkedList<>();
if (root==null){
return ret;
}
ret.add(root.val);
List<Integer> left=new LinkedList<>(preorderTraversal(root.left));
ret.addAll(left);
List<Integer> right=new LinkedList<>(preorderTraversal(root.right));
ret.addAll(right);
return ret;
}
}
非递归实现
当我们不使用递归进行遍历时，我们则需要借助一个栈用于实现二叉树的先序遍历，操作如下先将根结点放入栈中取出栈中的结点遍历完成后再依次将根的右孩子左孩子放入栈中，进行循环遍历
核心代码如下
public void preOrderTraversal(TreeNode root){
Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();//创建一个栈
if (root==null){
return;
}
TreeNode cur=root;
stack.push(cur);
while (!stack.isEmpty()){
TreeNode node=stack.pop();
System.out.println(node.val);
//先放右孩子，再放左孩子，因为栈是先进先出的特点
if(node.right!=null){
//右孩子不为空则将其放入栈里面
stack.push(node.right);
}
if (node.left!=null){
//左孩子不为空则将其放入栈里面
stack.push(node.left);
}
}
}
中序遍历
中序遍历就是先访问根的左孩子再访问根，最后再访问根的右孩子
如图：
递归实现
核心代码如下：
class TreeNode {
int val; // 数据域
TreeNode left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
TreeNode right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
public TreeNode(int val){
this.val=val;
}
}
//中序遍历
public void inOrderTraversal(TreeNode root){
//如果该根结点为空则返回；
if (root==null){
return;
}
inOrderTraversal(root.left);//开始递归该根的左孩子
System.out.println(root.val);//访问结点
inOrderTraversal(root.right);//开始递归该根的右孩子
}
二叉树的中序遍历
思路：其考查二叉树的中序遍历，其细节与之上的一样
class Solution {
public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {
List<Integer> ret=new LinkedList<>();
if (root==null){
return ret;
}
//
List<Integer> left=inorderTraversal(root.left);
ret.addAll(left);
ret.add(root.val);
List<Integer> right=inorderTraversal(root.right);
ret.addAll(right);
return ret;
}
}
非递归实现
当我们不使用递归进行遍历时，我们则需要借助一个栈用于实现二叉树的先序遍历，操作如下先将根的孩子放入，栈中取出栈顶的结点，遍历完成后再依次将根的右孩子左孩子放入栈中，进行循环遍历
核心代码如下
public void inOrderTraversal(TreeNode root){
Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();
if (root==null){
//判断树是否为空
return;
}
TreeNode cur=root;
while (cur!=null||!stack.isEmpty()){
while (cur!=null){
//将左孩子放入其中
stack.push(cur);
cur=cur.left;
}
cur=stack.pop();
System.out.println(cur.val);
cur=cur.right;
}
}
后序遍历
后序遍历就是先访问根的左孩子，右孩子最后访问根结点
如图：
递归遍历
class TreeNode {
int val; // 数据域
TreeNode left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
TreeNode right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
public TreeNode(int val){
this.val=val;
}
}
//后序遍历
public void postOrderTraversal(TreeNode root){
//如果该根结点为空则返回；
if (root==null){
return;
}
postOrderTraversal(root.left);//开始递归该根的左孩子
postOrderTraversal(root.right);//开始递归该根的右孩子
System.out.println(root.val);//访问结点
}
二叉树的后序遍历
class Solution {
public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {
List<Integer> ret=new LinkedList<>();
if (root==null){
return ret;
}
List<Integer> left=postorderTraversal(root.left);
ret.addAll(left);
List<Integer> right=postorderTraversal(root.right);
ret.addAll(right);
ret.add(root.val);
return ret;
}
}
非递归遍历
与先序中序非递归遍历一样，都需要使用一个栈，方法也一样不过在遍历的时候需要进行一次判断判断该需要遍历的结点右孩子为空或者或者其右孩子已经被遍历如果满足以上的条件则进行遍历。
public void postOrderTraversal(TreeNode root){
Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();
if (root==null){
return;
}
TreeNode prev=null;
TreeNode cur=root;
while (cur!=null||!stack.isEmpty()){
while (cur!=null){
stack.push(cur);
cur=cur.left;
}
cur=stack.peek();
//如果该结点的右孩子为空或者或者其右孩子已经被遍历
if (cur.right==null||cur.right==prev){
System.out.println(cur.val);
stack.pop();
prev=cur;
cur = null;// 这个cur被打印了不能再次入栈
}
else {
cur=cur.right;
}
}
}
二叉树的层次遍历
设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是
层序遍历。
如图：
public void levelOrderTraversal(TreeNode root) {
if(root == null) return;//判断该树是否为空
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();//创建一个队列
queue.offer(root);//放入根结点
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode top = queue.poll();
System.out.print(top.val+" ");
if(top.left != null) {
//判断左孩子是否为空
queue.offer(top.left);
}
if(top.right!=null) {
//判断右孩子是否为空
queue.offer(top.right);
}
}
}