算法实验2：0-1背包问题的动态规划算法实现

0-1背包问题的动态规划算法实现

一、实验目的和要求：

1.掌握动态规划算法思想。
2.掌握最优子结构原理。
3.了解动态规划一般问题，并利用动态规划解决0-1背包问题。

二、实验环境：

VS2019 – .cpp文件

三、算法描述及实验步骤

1.问题描述：

给定n个物品和一个背包。物品i的重量为wi，价值为vi，背包容量为c。
如何选择装入背包中的物品，使得装入背包的物品的价值最大？
注：每种物品i只有两种选择，装入或者不装入，既不能装入多次，也不能只装入一部分。

2.问题形式化描述：

给定c＞0，wi＞0，vi＞0，1≤i≤n，求n元0-1向量(x1, x2, …, xn)，使得

3.0-1背包问题的递归式

0-1 背包问题具有最优子结构性质，可以据此定义递归关系，建立递归方程，并以自底向上的方式计算最优值，根据计算最优值时的得到的信息，构造最优解。

设所给 0-1 背包问题的子问题的最优值 m(i，j) ，即 m(i，j) 是背包重量为 j ，可选物品为 i，i+1，…，n-1 时的最优值。由最优子结构性质，可以计算出 m(i，j) 的递归式如下：

面对每个物品，我们只有拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。首先，声明一个大小为m[n][c]的二维数组，m[ i ][ j ] 表示在面对第i件物品，且背包容量为 j时所能获得的最大价值 ，那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法：
1）0 2）j>w[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。
如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。这里的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-w[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。
如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]。，比较这两种情况哪种价值最大进行选举。

4.算法描述

用二维数组m[i][j], 0≤j≤c, 来存储m(i, j)的值。
求解0-1背包问题就是在二维数组m中填入相应的值。
m[1][c]中的值就是该背包问题的解
二维数组m中最先填入物品n的最优解m(n, j)：
若0≤j＜wn，m[n][j]=0；
若j≥wn，m[n][j]=vn。

构造最优解(x1,x2,…,xn)算法：
如果m[1][c]=m[2][c], 则x1=0, 否则x1=1;
如果x1=0, 则由m[2][c]构造解;
如果x1=1, 则由m[2][c-w1]构造解;
依次类推，可构造出相应的最优解: （x1,x2,…,xn）

四、调试过程及实验结果

输入值：
背包容量：16
可携带物品数量：8
各物品重量：2 3 6 5 1 4 8 1
各物品价值：6 2 1 6 5 4 3 2
达到最大价值的最优解为：1 1 0 1 1 1 0 1
实验结果：

实验所得二维表：

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