人工智能数学基础——高等数学

高等数学基础

无限个无穷小之和不一定是无穷小：

函数连续性：设函数 y = f (x)在点x。的某邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x趋近于零时，相应函数的改变量△y也趋近于零，则称y = f (x)在点 x。处连续。

函数 在点 处连续，需要满足的条件：1. 函数在该点处有定义 2. 函数在该点处极限 存在 3. 极限值等于函数值

3种情况为间断点：1.函数 在点 处没有定义。 2.极限 不存在  3.满足前两点，但是

常用求导公式与求导法则

          

方向导数：如果函数的增量，与这两点距离的比例存在，则称此为在P点沿着L的方向导数

定理：如果函数 在点 是可微分的，那么在该点沿任意方向L的方向导数都存在为X轴到L的角度

梯度：函数： 在平面域内具有连续的一阶偏导数，对于其中每一个点都有向量 ，则其称为函数在点P的梯度。

第一中值定理：如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 

牛顿—莱布尼茨公式的数学解释：

 

泰勒公式

若 存在，在x0附近有：

可以得到：一阶导数只帮我们定位了下一个点是上升还是下降对之后的趋势就很难把控了。

泰勒公式：

称为 的在x0关于（x-x0）的n阶泰勒多项式。

阶数是什么意思呢？1）阶数越高增长速度越快  2）观察可发现，越高次项在越偏右侧影响越大。3）对于一个复杂函数，给我们的感觉时在当前点，低阶项能更好的描述当前点附近，对于之后的走势就越来越依靠高阶的了。

阶乘是什么意思呢？

至此泰勒公式各项含义：导数值决定方向，阶数决定幅度大小，分母的阶乘决定各项阶的效力。

拉格朗日乘子法