数据结构】图解KMP模式匹配算法（C语言）
文章目录
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- 介绍
- KMP模式匹配原理
- next数组值推导
- KMP模式匹配算法实现
- KMP模式匹配改进
- nextval数值推导
- 测试代码
介绍
KMP算法是有Kunth和Partt共同研究，Morris独立研究发表的模式匹配算法，可以大大避免重复遍历的情况，我们把它称之为克努特-莫里斯-普拉特算法，简称KMP算法。
KMP模式匹配原理
从朴素模式匹配的角度理解KMP模式匹配
假设主串S=“abcdefgab”，子串 T=“abcdex”，如果用朴素算法的话，前5个字母，两个串完全相等，直到第六个字母，“f”与“x”不相等。如下图所示
接下来，按照朴素模式匹配，应该是图1-1的流程23456。即主串S中当i=2,3,4,5,6时，首字符与子串T的首字符均不等。
认真观察发现，对于要匹配的子串T来说，“abcdex”首字母“a”与后面的串“bcdex”中任意一个字符都不相等。也就是说，既然“a”不与后面的子串任一字符相等，那么对于图1-1的1来说，前五位字符分别相等，意味着子串T的首字符“a”不可能与S串的第二位到第五位的字符相等。图1-1中的2,3,4,5判断都是多余。
这是理解KMP算法的关键。如果我们知道T串中首字符“a”与T后面的字符均不相等，（注意这是前提）。而T串的第二位的“b”与“s”串中的第二位b在图1-1中的1中已经判断是相等的，那么也就意味着，T串中首字符“a”与S串中的第二位“b”是不需要判断也知道他们是不可能相等，这样图1-1中的2步骤是可以省略的。如图1-2所示。
同样的道理，在我们知道T串中首字符“a”与T中后面的字符均不相等的前提下，T串的“a”与S串后面的cde也可以在步骤1之后可以确定是不相等的，所以这个算法中步骤2,3,4,5没有必要，只保留步骤1,6即可。如图1-3
之所以保留步骤6是因为步骤6中的判断是因为在步骤1中T[6]不等于S[6],尽管 我们已经知道了T[1]不等于T[6],但是也不能判断T[1]一定不等于S[6]。
那么问题来了，如果T串后面也含有首字符“a”的字符怎么办？
我们举一个例子，假设S=“abcabcabc”，T=“abcabx”，对于开始的判断，前五个字符完全相等，前6个字符不相等，如图1-4中的①。此时根据刚才的经验，T的首字符“a”与T的第二个字符“b”，第三位“c”均不等，所以不需要做判断，图1-4中的朴素算法②③都是多余的。
也就是说，对于在子串中有首字符相等的字符，也是可以省略一部分不必要的判断步骤，如图1-5所示。省略掉右图的T串前两位“a”与“b”同S串的4,5位置字符匹配操作。
对比这两个例子，我们会发现在①时，我们的i值，也就是主串当前位置的下标是6，②③④⑤，i值是2,3,4,5，到了⑥，i值才回到了6.即我们在朴素模式匹配算法汇总，主串的i值是不断的回溯来完成的。而我们分析发现，这种回溯其实是可以不需要的——KMP算法就是为了让这没有必要的回溯不发生。
既然i值不回溯，也就是不可以变小，那么要考虑的变化就是j值了。通过观察也可以发现，我们屡屡提到了T串的首字符与自身后面字符的比较，发现如果有相等字符，j值的变化就会不相同。也就是说，这个j值的变化与主串没有什么关系，关键取决于T串的结构中是否有重复的问题。
我们把T串各个位置j值变化定义为一个数组next，那么next的长度就是T串的长度，得到函数定义：
next数组值推导
如何具体推导出一个串的next数值了？
举一个栗子
T=abcdex。
当j=1时，next[1]=1。
当j=2时，就由1到j-1就只有一个字符“a”，属于其他情况next[2]=1。
当j=3时，j由1到j-1串是“ab”，显然a与b不相等，属于其他情况，next[3]=1。
以后同理，所以最终T串的next[j]为011111。
T=abcabc。
j=1时，next[1]=0;
j=2时，同上例，next[2]=1;
j=3时，同上next[3]=1;
j=4时，同上next[4]=1
j=5时，此时j由1到j-1的串是“abca”，前缀字符a与后缀a相等，因此可以退出k值为2，next[5]=2;
j=6时，j由1到j-1的串是abcab，由于前缀字符“ab”与后缀“ab”相等，所以next[6]=3
根据经验得到如果一个前后缀一个字符相等，k值是2，两个字符k值是3，n个相等k值就是n+1
T=ababaaaba
j=1时，next[1]=0;
j=2时，同上next[2]=1;
j=3时，next[3]=1
j=4时，j由1到j-1的串aba，前缀字符a与后缀字符a相等next[4]=2
j=5时，j由1到j-1的串是abab，由于前缀字符ab与后缀字符ab相等，所有next[5]=3;
j=6时，j由1到j-1的串是ababba由于前缀字符aba与后缀aba相等，所以next[6]=4;
j=7时，j由1到j-1的串是ababaa，由于前缀字符ab与后缀aa并不相等，只有a相等，所以next[7]=2；
j=8时，j由1到j-1的串是ababaaa，只有a相等，所以next[8]=2
j=9时，j由1到j-1的串是ababaaab，由于前缀字符ab与后缀ab相等，所以next[9]=3.
KMP模式匹配算法实现
/* 通过计算返回子串T的next数组。 */
void get_next(String T, int *next)
{
int i,j;
i=1;
j=0;
next[1]=0;
while (i<T[0]) /* 此处T[0]表示串T的长度 */
{
if(j==0 || T[i]== T[j])
/* T[i]表示后缀的单个字符，T[j]表示前缀的单个字符 */
{
++i;
++j;
next[i] = j;
}
else
j= next[j]; /* 若字符不相同，则j值回溯 */
}
}
这段代码就是Wie了计算出当前要匹配的串T的next函数。
/* 返回子串T在主串S中第pos个字符之后的位置。若不存在，则函数返回值为0。 */
/* T非空，1≤pos≤StrLength(S)。 */
int Index_KMP(String S, String T, int pos)
{
/* i用于主串S中当前位置下标值，若pos不为1，则从pos位置开始匹配 */
int i = pos;
/* j用于子串T中当前位置下标值 */
int j = 1;
/* 定义一next数组 */
int next[255];
/* 对串T作分析，得到next数组 */
get_next(T, next);
/* 若i小于S的长度并且j小于T的长度时，循环继续 */
while (i <= S[0] && j <= T[0])
{
/* 两字母相等则继续，与朴素算法增加了j=0判断 */
if (j==0 || S[i] == T[j])
{
++i;
++j;
}
else
/* 指针后退重新开始匹配 */
/* j退回合适的位置，i值不变 */
j = next[j];
}
if (j > T[0])
return i-T[0];
else
return 0;
}
KMP模式匹配改进
后来有人发现，KMP还是有缺陷的，比如，我们的主串S=aaaabcde，子串T=aaaax，其next数值分别为123456，在开始时，i=5，j=5时，我们发现b与a不相等，如图1-6中的①，因此j=next[5]=4,如图中的②，此时b与第四位置的a依然不等，j=next[4]=3,如入栈的③，后依次是④⑤，直到j=next[1]=0时，根据算法，此时i++，j++得到i=6，j=1，如图中⑥。
.
/* 求模式串T的next函数修正值并存入数组nextval */
void get_nextval(String T, int *nextval)
{
int i,j;
i=1;
j=0;
nextval[1]=0;
/* 此处T[0]表示串T的长度 */
while (i<T[0])
{
/* T[i]表示后缀的单个字符，T[j]表示前缀的单个字符 */
if(j==0 || T[i]== T[j])
{
++i;
++j;
/* 若当前字符与前缀字符不同 */
if (T[i]!=T[j])
/* 则当前的j为nextval在i位置的值 */
nextval[i] = j;
else
/* 如果与前缀字符相同，则将前缀字符的 */
/* nextval值赋值给nextval在i位置的值 */
nextval[i] = nextval[j];
}
else
/* 若字符不相同，则j值回溯 */
j= nextval[j];
}
}
nextval数值推导
T=ababaaaba
先算法next数组的值分别非001234223，然后在判断。
j=1时，nextval=0；
j=2时，因为第二位字符b的next值是1，而第一位是a他们不相等，所以nextval[2]=next[2]=1.
j=3时，因为第三位字符a的next值为1，所以第一位的a比较得知他们相等，所以nextval[3]=nextval[1]=0。
j=4时，第四位的字符bnext值为2所以第二位的b相比较得结果是相等的，因此nextval[4]=nextval[2]=1.
j=5时，next值为3，第五个字符a与第三个字符a相等，因此nextval[5]=nextval[3]=0
j=6时，next值为4，第六个字符a与第四个字符b不相等，因此nextval[4]=4
j=7时，next值为2，第七个字符a与第二个字符b不相等，因此nextval[7]=2
j=8时，next值为2，第八个字符b与第三个字符b相等，因此nextval[8]=nextval[2]=1
j=9时，next值为3，第八个字符b与第三个字符a相等，因此nextval[9]=nextval[3]=1.
测试代码
#include "string.h"
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "io.h"
#include "math.h"
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int ElemType; /* ElemType类型根据实际情况而定，这里假设为int */
typedef char String[MAXSIZE+1]; /* 0号单元存放串的长度 */
/* 生成一个其值等于chars的串T */
Status StrAssign(String T,char *chars)
{
int i;
if(strlen(chars)>MAXSIZE)
return ERROR;
else
{
T[0]=strlen(chars);
for(i=1;i<=T[0];i++)
T[i]=*(chars+i-1);
return OK;
}
}
Status ClearString(String S)
{
S[0]=0;/* 令串长为零 */
return OK;
}
/* 输出字符串T。 */
void StrPrint(String T)
{
int i;
for(i=1;i<=T[0];i++)
printf("%c",T[i]);
printf("\n");
}
/* 输出Next数组值。 */
void NextPrint(int next[],int length)
{
int i;
for(i=1;i<=length;i++)
printf("%d",next[i]);
printf("\n");
}
/* 返回串的元素个数 */
int StrLength(String S)
{
return S[0];
}
/* 朴素的模式匹配法 */
int Index(String S, String T, int pos)
{
int i = pos; /* i用于主串S中当前位置下标值，若pos不为1，则从pos位置开始匹配 */
int j = 1; /* j用于子串T中当前位置下标值 */
while (i <= S[0] && j <= T[0]) /* 若i小于S的长度并且j小于T的长度时，循环继续 */
{
if (S[i] == T[j]) /* 两字母相等则继续 */
{
++i;
++j;
}
else /* 指针后退重新开始匹配 */
{
i = i-j+2; /* i退回到上次匹配首位的下一位 */
j = 1; /* j退回到子串T的首位 */
}
}
if (j > T[0])
return i-T[0];
else
return 0;
}
/* 通过计算返回子串T的next数组。 */
void get_next(String T, int *next)
{
int i,j;
i=1;
j=0;
next[1]=0;
while (i<T[0]) /* 此处T[0]表示串T的长度 */
{
if(j==0 || T[i]== T[j]) /* T[i]表示后缀的单个字符，T[j]表示前缀的单个字符 */
{
++i;
++j;
next[i] = j;
}
else
j= next[j]; /* 若字符不相同，则j值回溯 */
}
}
/* 返回子串T在主串S中第pos个字符之后的位置。若不存在，则函数返回值为0。 */
/* T非空，1≤pos≤StrLength(S)。 */
int Index_KMP(String S, String T, int pos)
{
int i = pos; /* i用于主串S中当前位置下标值，若pos不为1，则从pos位置开始匹配 */
int j = 1; /* j用于子串T中当前位置下标值 */
int next[255]; /* 定义一next数组 */
get_next(T, next); /* 对串T作分析，得到next数组 */
while (i <= S[0] && j <= T[0]) /* 若i小于S的长度并且j小于T的长度时，循环继续 */
{
if (j==0 || S[i] == T[j]) /* 两字母相等则继续，与朴素算法增加了j=0判断 */
{
++i;
++j;
}
else /* 指针后退重新开始匹配 */
j = next[j];/* j退回合适的位置，i值不变 */
}
if (j > T[0])
return i-T[0];
else
return 0;
}
/* 求模式串T的next函数修正值并存入数组nextval */
void get_nextval(String T, int *nextval)
{
int i,j;
i=1;
j=0;
nextval[1]=0;
while (i<T[0]) /* 此处T[0]表示串T的长度 */
{
if(j==0 || T[i]== T[j]) /* T[i]表示后缀的单个字符，T[j]表示前缀的单个字符 */
{
++i;
++j;
if (T[i]!=T[j]) /* 若当前字符与前缀字符不同 */
nextval[i] = j; /* 则当前的j为nextval在i位置的值 */
else
nextval[i] = nextval[j]; /* 如果与前缀字符相同，则将前缀字符的 */
/* nextval值赋值给nextval在i位置的值 */
}
else
j= nextval[j]; /* 若字符不相同，则j值回溯 */
}
}
int Index_KMP1(String S, String T, int pos)
{
int i = pos; /* i用于主串S中当前位置下标值，若pos不为1，则从pos位置开始匹配 */
int j = 1; /* j用于子串T中当前位置下标值 */
int next[255]; /* 定义一next数组 */
get_nextval(T, next); /* 对串T作分析，得到next数组 */
while (i <= S[0] && j <= T[0]) /* 若i小于S的长度并且j小于T的长度时，循环继续 */
{
if (j==0 || S[i] == T[j]) /* 两字母相等则继续，与朴素算法增加了j=0判断 */
{
++i;
++j;
}
else /* 指针后退重新开始匹配 */
j = next[j];/* j退回合适的位置，i值不变 */
}
if (j > T[0])
return i-T[0];
else
return 0;
}
int main()
{
int i,*p;
String s1,s2;
StrAssign(s1,"abcdex");
printf("子串为: ");
StrPrint(s1);
i=StrLength(s1);
p=(int*)malloc((i+1)*sizeof(int));
get_next(s1,p);
printf("Next为: ");
NextPrint(p,StrLength(s1));
printf("\n");
StrAssign(s1,"abcabx");
printf("子串为: ");
StrPrint(s1);
i=StrLength(s1);
p=(int*)malloc((i+1)*sizeof(int));
get_next(s1,p);
printf("Next为: ");
NextPrint(p,StrLength(s1));
printf("\n");
StrAssign(s1,"ababaaaba");
printf("子串为: ");
StrPrint(s1);
i=StrLength(s1);
p=(int*)malloc((i+1)*sizeof(int));
get_next(s1,p);
printf("Next为: ");
NextPrint(p,StrLength(s1));
printf("\n");
StrAssign(s1,"aaaaaaaab");
printf("子串为: ");
StrPrint(s1);
i=StrLength(s1);
p=(int*)malloc((i+1)*sizeof(int));
get_next(s1,p);
printf("Next为: ");
NextPrint(p,StrLength(s1));
printf("\n");
StrAssign(s1,"ababaaaba");
printf(" 子串为: ");
StrPrint(s1);
i=StrLength(s1);
p=(int*)malloc((i+1)*sizeof(int));
get_next(s1,p);
printf(" Next为: ");
NextPrint(p,StrLength(s1));
get_nextval(s1,p);
printf("NextVal为: ");
NextPrint(p,StrLength(s1));
printf("\n");
StrAssign(s1,"aaaaaaaab");
printf(" 子串为: ");
StrPrint(s1);
i=StrLength(s1);
p=(int*)malloc((i+1)*sizeof(int));
get_next(s1,p);
printf(" Next为: ");
NextPrint(p,StrLength(s1));
get_nextval(s1,p);
printf("NextVal为: ");
NextPrint(p,StrLength(s1));
printf("\n");
StrAssign(s1,"00000000000000000000000000000000000000000000000001");
printf("主串为: ");
StrPrint(s1);
StrAssign(s2,"0000000001");
printf("子串为: ");
StrPrint(s2);
printf("\n");
printf("主串和子串在第%d个字符处首次匹配（朴素模式匹配算法）\n",Index(s1,s2,1));
printf("主串和子串在第%d个字符处首次匹配（KMP算法） \n",Index_KMP(s1,s2,1));
printf("主串和子串在第%d个字符处首次匹配（KMP改良算法） \n",Index_KMP1(s1,s2,1));
return 0;
}