算法篇之第（）幕——时间/空间复杂度详解（O(1)、O(n)、O(logn)、O(nlogn)）

一、（渐进）时间复杂度$O(n)$

时间复杂度可以表示为：$T(n)=O(f(n))$，

  其中$f(n)$表示每行代码执行次数和，$O$表示正比关系，该公式称为算法的渐进时间复杂度。
算法是随着 $n$ 的变化而变化的，算法可以简化为：$T(n)=O(n)$。
简化是因为这个表达式不是用来实际计算算法的执行时间的，只是表示代码执行时间的增长变化趋势。

  对比一下几种常见的复杂度之前，先搞清楚$O(logn)$，这整个表示什么，其中$O()$中的$logn$就是一个f(n)，表示该时间复杂度，跟数据量有关，n就是输入的数据量。

公式	含义	示例
$O(1)$	常量，也就是说时间/空间复杂度跟输入的数据量无关，无论你输入多少数据，复杂度都一样	hash算法
$O(n)$	数据量扩大n倍，复杂度也扩大n倍	遍历
$O(n^2)$	n个数排序，需扫描n*n次	冒泡排序
$O(logn)$	数据量扩大n倍时，耗时扩大$logn$倍	二分查找，每次排除一半，16个数查找
$O(nlogn)$	当数据量扩大256倍，那复杂度就是 $8\ast log8=2048$倍，比线性高，比平方低	归并排序

1、常数阶$O(1)$

表示无论执行多少次，复杂度都是1。

	int i=0;
	int j=1;
	System.out.println("sum="+(i+j));

看上去消耗时间是3，简化后就是O(1)。

2、线性阶$O(n)$

	for(int i=0;i<n;i++){
     
		System.out.println("i="+i);
	}

System.out会执行n遍，消耗时间随着n的增长而增长。

3、对数阶$O(log$n$)$

  在逛博客的时候看到一段代码，觉得很直观，可以看下：

	int score = 1;
	while(score < full){
     
		score = score*2;
	}

  怎么解释，就是score乘以2这个动作，进行x次以后，就会因为≥full而跳出循环，那就是说$2^x=n$，即$x={\log }_{2}n$，复杂度为$O(logn)$。

如果$2^x=n$ , 也就是说$x={\log }_{2}n$，就是个对数函数，2就是以n为底的对数，a是底数，n是真数。
以n（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。

4、线性对数阶$O($n$log$n$)$

  结合上面说的对数阶和线性阶也就容易理解了，其实就是把时间复杂度为$O(log$n$)$的代码循环n遍。

	for(int i=0; j<n; i++){
     
		j=1;
		while(j < n){
     
   			j = j*2;
   		}
	}

5、平方阶$O(n^2)$

  就是把$O(n)$的代码再嵌套一遍。

	for(int i=0; i<n; i++){
     
		for(int j=0; j<n; j++){
     
			System.out.println("sum="+(i+j));
		}
	}

二、空间复杂度$S(n)$

  是对算法在运行过程中，将会临时占用存储空间大小的一个度量，同样也是主要反映一个趋势。

1、$O(1)$

  所需临时空间不随着n的变化而变化。

	int i=0;
	int j=1;
	System.out.println("sum="+(i+j));

2、$O(n)$

略。

3、$O(n^2)$

略。