力扣刷题系列——回溯算法I
回溯算法思想及经典例题（一）
回溯法
可以提前看看公众号文章：https://mp.weixin.qq.com/s/g5uvxi1lyxmWC4LtP0Bdlw （从二叉树遍历到回溯算法，包含例题：二叉树路径和等于给定目标值的路径（力扣113）、集合的所有子集合列表（力扣78））
1、概念
回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。
2、基本思想
在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。
若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。
而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
回溯法中，首先需要明确下面三个概念：
（一）约束函数：约束函数是根据题意定出的。通过描述合法解的一般特征用于去除不合法的解，从而避免继续搜索出这个不合法解的剩余部分。因此，约束函数是对于任何状态空间树上的节点都有效、等价的。
（二）状态空间树：刚刚已经提到，状态空间树是一个对所有解的图形描述。树上的每个子节点的解都只有一个部分与父节点不同。
（三）扩展节点、活结点、死结点：所谓扩展节点，就是当前正在求出它的子节点的节点，在深度优先搜索中，只允许有一个扩展节点。活结点就是通过与约束函数的对照，节点本身和其父节点均满足约束函数要求的节点；死结点反之。由此很容易知道死结点是不必求出其子节点的（没有意义）。
3、用回溯法解题的一般步骤：
首先，要通过读题完成下面三个步骤：
(1)描述解的形式，定义一个解空间，它包含问题的所有解。
(2)构造状态空间树。
(3)构造约束函数（用于杀死节点）。
然后就要通过深度优先搜索思想完成回溯，完整过程如下：
(1)设置初始化的方案（给变量赋初值，读入已知数据等）。
(2)变换方式去试探，若全部试完则转(7)。
(3)判断此法是否成功（通过约束函数），不成功则转(2)。
(4)试探成功则前进一步再试探。
(5)正确方案还未找到则转(2)。
(6)已找到一种方案则记录并打印。
(7)退回一步（回溯），若未退到头则转(2)。
(8)已退到头则结束或打印无解。
4、算法框架
（1）问题框架
设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。
（2）非递归回溯框架
int a[n],i;
初始化数组a[];
i = 1;
while (i>0(有路可走) and (未达到目标)) // 还未回溯到头
{
if(i > n) // 搜索到叶结点
{
搜索到一个解，输出；
}
else // 处理第i个元素
{
a[i]第一个可能的值；
while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)
{
a[i]下一个可能的值；
}
if(a[i]在搜索空间内)
{
标识占用的资源；
i = i+1; // 扩展下一个结点
}
else
{
清理所占的状态空间； // 回溯
i = i –1;
}
}（3）递归的算法框架
回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度，框架如下：
int a[n];
try(int i)
{
if(i>n)
输出结果;
else
{
for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1) // 枚举i所有可能的路径
{
if(fun(j)) // 满足限界函数和约束条件
{
a[i] = j;
... // 其他操作
try(i+1);
回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）;
}
}
}
}回溯法有“通用解题法”之称。用它可以系统地搜索问题的所有解。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。
在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。 而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
例题讲解
（力扣46）给定一个不重复的数字集合，返回其所有可能的全排列。例如：
-
输入：
[1, 2, 3] -
输出：
[ [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2], [3,2,1] ]
代码实现：
class Solution {
public List> permute(int[] nums) {
List> lists = new ArrayList<>();
int[] arr = new int[nums.length];
backTrack(lists,nums,new ArrayList(),arr);
return lists;
}
public void backTrack(List> lists,int[] nums,ArrayList list,int[] arr){
if(list.size()==nums.length){
lists.add(new ArrayList(list));
return;
}
for(int i=0;i 下面以经典的排列（permutation）和组合（combination）问题为例，讲讲求解回溯法问题的要点：候选集合。
内容将会包含：
-
回溯法的”选什么“问题与候选集合
-
全排列、排列、组合问题的回溯法解法
-
回溯法问题中，如何维护候选集合
-
回溯法问题中，如何处理失效元素
回溯法的重点：“选什么”
我们说过，回溯法实际上就是在一棵决策树上做遍历的过程。那么，求解回溯法题目时，我们首先要思考所有决策路径的形状。例如，子集问题的决策树如下图所示：
子集问题的决策树
决策树形状主要取决于每个结点处可能的分支，换句话说，就是在每次做决策时，我们 “可以选什么”、 “有什么可选的”。
对于子集问题而言，这个“选什么”的问题非常简单，每次只有一个元素可选，要么选、要么不选。不过，对于更多的回溯法题目，“选什么”的问题并不好回答。这时候，我们就需要分析问题的候选集合，以及候选集合的变化，以此得到解题的思路。
全排列问题：如何维护候选集合
让我们拿经典的全排列问题来讲解回溯法问题的候选集合概念。
在全排列问题中，决策树的分支数量并不固定。我们一共做 n 次决策，第 i 次决策会选择排列的第 i 个数。选择第一个数时，全部的 n 个数都可供挑选。而由于已选的数不可以重复选择，越往后可供选择的数越少。以 n=3 为例，决策树的形状如下图所示：
全排列问题的决策树
如果从候选集合的角度来思考，在进行第一次选择时，全部的 3 个数都可以选择，候选集合的大小为 3。在第二次选择时，候选集合的大小就只有 2 了；第三次选择时，候选集合只剩一个元素。可以看到，全排列问题候选集合的变化规律是：每做一次选择，候选集合就少一个元素，直到候选集合选完为止。我们可以在上面的决策树的每个结点旁画上候选集合的元素，这样看得更清晰。
全排列问题有候选集合的决策树
可以看到，已选集合与候选集合是补集的关系，它们加起来就是全部的元素。而在回溯法的选择与撤销选择的过程中，已选集合和候选集合是此消彼长的关系。
如何根据这样的思路写出代码呢？当然可以用 HashSet 这样的数据结构来表示候选集合。但如果你这么去写的话，会发现代码写起来比较啰嗦，而且 set 结构的“遍历-删除”操作不太好写。在这里，我不展示使用 set 结构的代码。大家只要明白一条要点：在一般情况下，候选集合使用数组表示即可。 候选集合上需要做的操作并不是很多，使用数组简单又高效。
在子集问题中，我们定义了变量 k，表示当前要对第 k 个元素做决策。实际上，变量 k 就是候选集合的边界，指针 k 之后的元素都是候选元素，而 k 之前都是无效元素，不可以再选了。
用数组表示候选集合
而每次决策完之后将 k 加一，就是将第 k 个元素移出了候选集合。
将第 k 个元素移出候选集合
在全排列问题中，我们要处理的情况更难一些。每次做决策时，候选集合中的所有元素都可以选择，也就是有可能删除候选集合中间的元素，这样数组中会出现“空洞”。这种情况该怎么处理呢？我们可以使用一个巧妙的方法，先将要删除的元素与第 k 个元素交换，再将 k 加一，过程如下方动图所示：
不知道你有没有注意到，上图中候选集合之外的元素画成了蓝色，这些实际上就是已选集合。前面分析过，已选集合与候选集合是互补的。将蓝色部分看成已选集合的话，我们从候选集合中删除的元素，正好加入了已选集合中。也就是说，我们可以只用一个数组同时表示已选集合和候选集合！
理解了图中的关系之后，题解代码就呼之欲出了。我们只需使用一个 current 数组，左半边表示已选元素，右半边表示候选元素。指针 k 不仅是候选元素的开始位置，还是已选元素的结束位置。我们可以得到一份非常简洁的题解代码：
public List> permute(List nums) {
List current = new ArrayList<>(nums);
List> res = new ArrayList<>();
backtrack(current, 0, res);
return res;
}
// current[0..k) 是已选集合， current[k..N) 是候选集合
void backtrack(List current, int k, List> res) {
if (k == current.size()) {
res.add(new ArrayList<>(current));
return;
}
// 从候选集合中选择
for (int i = k; i < current.size(); i++) {
// 选择数字 current[i]
Collections.swap(current, k, i);
// 将 k 加一
backtrack(current, k+1, res);
// 撤销选择
Collections.swap(current, k, i);
}
} 注意写在递归函数上方的注释。在写回溯法问题的代码时，你需要时刻清楚什么是已选集合，什么是候选集合。注释中的条件叫做“不变式”。一方面，我们在函数中可以参考变量 k 的含义，另一方面，我们在做递归调用的时候，要保证这个条件始终成立。特别注意代码中递归调用传入的参数是 k+1 ，即删除一个候选元素，而不是传入 i+1。
n 中取 k 的排列
n 中取 k 的排列的决策树
题解代码如下所示，只需要修改递归结束的条件即可。
public List> permute(List nums, int k) {
List current = new ArrayList<>(nums);
List> res = new ArrayList<>();
backtrack(k, current, 0, res);
return res;
}
// current[0..m) 是已选集合， current[m..N) 是候选集合
void backtrack(int k, List current, int m, List> res) {
// 当已选集合达到 k 个元素时，收集结果并停止选择
if (m == k) {
res.add(new ArrayList<>(current.subList(0, k)));
return;
}
// 从候选集合中选择
for (int i = m; i < current.size(); i++) {
// 选择数字 current[i]
Collections.swap(current, m, i);
backtrack(k, current, m+1, res);
// 撤销选择
Collections.swap(current, m, i);
}
} 注意这里 k 是题目的输入，所以原先我们代码里的变量 k 重命名成了 m。此外，就是递归函数开头的 if 语句条件发生了变化，当已选集合达到 k 个元素时，就收集结果停止递归。
组合问题：失效元素
public List> combine(List nums, int k) {
Deque current = new ArrayDeque<>();
List> res = new ArrayList<>();
backtrack(k, nums, 0, current, res);
return res;
}
// current 是已选集合， nums[m..N) 是候选集合
void backtrack(int k, List nums, int m, Deque current, List> res) {
// 当已选集合达到 k 个元素时，收集结果并停止选择
if (current.size() == k) {
res.add(new ArrayList<>(current));
return;
}
// 从候选集合中选择
for (int i = m; i < nums.size(); i++) {
// 选择数字 nums[i]
current.addLast(nums.get(i));
// 元素 nums[m..i) 均失效
backtrack(k, nums, i+1, current, res);
// 撤销选择
current.removeLast();
}
} 由于已选集合与候选集合并非互补，这里用单独的数组存储已选元素，这一点上与子集问题类似。
组合问题与子集问题的关系
也许是排列 & 组合的 CP 感太重，所以我们在思考组合问题的解法的时候会自然地从排列问题上迁移。其实，组合问题和子集问题有很密切的联系。
由子集问题求解组合问题
组合问题可以看成是子集问题的特殊情况。从 n 中取 k 个数的组合，实际上就是求 n 个元素的所有大小为 k 的子集。也就是说，组合问题的结果是子集问题的一部分。我们可以在子集问题的决策树的基础上，当已选集合大小为 k 的时候就不再递归，就可以得到组合问题的决策树。
在子集问题决策树基础上得到的组合问题决策树
public List> subsets(List nums) {
Deque current = new ArrayDeque<>();
List> res = new ArrayList<>();
backtrack(nums, 0, current, res);
return res;
}
// current 是已选集合， nums[m..N) 是候选集合
void backtrack(List nums, int m, Deque current, List> res) {
// 收集决策树上每一个结点的结果
res.add(new ArrayList<>(current));
if (m == nums.size()) {
// 当候选集合为空时，停止递归
return;
}
// 从候选集合中选择
for (int i = m; i < nums.size(); i++) {
// 选择数字 nums[i]
current.addLast(nums.get(i));
// 元素 nums[m..i) 均失效
backtrack(nums, i+1, current, res);
// 撤销选择
current.removeLast();
}
} 可以看到，每次做决策都会增加一个已选元素。当递归到第 k 层时，计算的就是大小为 k 的子集。不过，这样写出的子集问题解法没有原解法易懂，我还是更推荐原解法。
经典例题
1.分割回文串
（力扣131）给定一个字符串 s，将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文串。
返回 s 所有可能的分割方案。
示例:
输入: "aab"
输出:
[
["aa","b"],
["a","a","b"]
]
代码实现：
//https://leetcode-cn.com/problems/palindrome-partitioning/solution/hui-su-you-hua-jia-liao-dong-tai-gui-hua-by-liweiw/
class Solution {
public List> partition(String s) {
List> lists = new ArrayList<>();
if(s==null) return lists;
int len = s.length();
LinkedList list = new LinkedList<>();
backtracking(s,0,len,list,lists);
return lists;
}
public void backtracking(String s,int start,int end,LinkedList list,List> lists){
if(start == end){
lists.add(new ArrayList(list));
return;
}
for(int i=start;i 2.组合总和
（力扣216）找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。
说明：
- 所有数字都是正整数。
- 解集不能包含重复的组合。
示例 1:
输入: k = 3, n = 7
输出: [[1,2,4]]
示例 2:
输入: k = 3, n = 9
输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]
代码实现：
class Solution {
List> ans = new ArrayList<>();
//尽量不要使用遗留类Stack,Deque完成可以实现Stack功能。
Deque path = new ArrayDeque<>();
/**
* 整体思路
*
* @param k k个数
* @param n 组合成n（累加和为n)
* 组合数范围1~9，且不重复
* @return
*/
public List> combinationSum3(int k, int n) {
dfs(k, n, 1);
return ans;
}
/**
* @param k k个数
* @param n 组合成n（累加和为n)
* @param start 组合数范围start~9，且不重复
*/
private void dfs(int k, int n, int start) {
if (k < 0 || n < 0) return; // 剪枝
// 刚好k个数、刚好递减成0（说明这k个数累加和刚好为n)
if (k == 0 && n == 0) {
if (!path.isEmpty())
ans.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
// 从start开始，到9的范围，然后就是递归分支（选、不选) 记得恢复状态
for (int i = start; i < 10; i++) {
path.push(i);
dfs(k - 1, n - i, ++start);
path.pop();
}
}
} 3.递增子序列
（力扣491）给定一个整型数组, 你的任务是找到所有该数组的递增子序列，递增子序列的长度至少是2。
示例:
输入: [4, 6, 7, 7]
输出: [[4, 6], [4, 7], [4, 6, 7], [4, 6, 7, 7], [6, 7], [6, 7, 7], [7,7], [4,7,7]]
说明:
- 给定数组的长度不会超过15。
- 数组中的整数范围是 [-100,100]。
- 给定数组中可能包含重复数字，相等的数字应该被视为递增的一种情况。
代码实现：
class Solution {
List temp = new ArrayList();
List> ans = new ArrayList>();
public List> findSubsequences(int[] nums) {
dfs(0, Integer.MIN_VALUE, nums);
return ans;
}
public void dfs(int cur, int last, int[] nums) {
if (cur == nums.length) {
if (temp.size() >= 2) {
ans.add(new ArrayList(temp));
}
return;
}
if (nums[cur] >= last) {
temp.add(nums[cur]);
dfs(cur + 1, nums[cur], nums);
temp.remove(temp.size() - 1);
}
if (nums[cur] != last) {
dfs(cur + 1, last, nums);
}
}
} 4.幂集
（力扣1698，面试题08.04）幂集。编写一种方法，返回某集合的所有子集。集合中不包含重复的元素。
说明：解集不能包含重复的子集。
示例:
输入： nums = [1,2,3]
输出：
[
[3],
[1],
[2],
[1,2,3],
[1,3],
[2,3],
[1,2],
[]
]
代码实现：
class Solution {
public List> subsets(int[] nums) {
//结果集合
List> list = new ArrayList();
//回溯方法
backtrack(list,new ArrayList<>(),nums,0);
return list;
}
public void backtrack(List>list,ListtempList,int []nums,int start){
list.add(new ArrayList<>(tempList));
for(int i = start;i 5.有重复字符串的排列组合
（力扣1702，面试题08.08）有重复字符串的排列组合。编写一种方法，计算某字符串的所有排列组合。
示例1:
输入：S = "qqe"
输出：["eqq","qeq","qqe"]
示例2:
输入：S = "ab"
输出：["ab", "ba"]
提示:
- 字符都是英文字母。
- 字符串长度在[1, 9]之间。
代码实现：
import java.util.List;
import java.util.Arrays;
class Solution {
public String[] permutation(String S) {
List res = new ArrayList();
int len = S.length();
if (len == 0) return new String[0];
boolean[] used = new boolean[len];
char[] sChar = S.toCharArray();
StringBuilder path = new StringBuilder(len);
// 排序是为了后面的剪枝
Arrays.sort(sChar);
dfs(res, sChar, len, path, 0, used);
return res.toArray(new String[0]);
}
/**
* @param res 结果集
* @param sChar 输入字符数组
* @param len 字符数组长度
* @param path 根结点到任意结点的路径
* @param depth 当前树的深度
* @param used 使用标记数组
*/
private void dfs(List res
, char[] sChar
, int len
, StringBuilder path
, int depth
, boolean[] used) {
// 到达叶子结点
if (depth == len) {
res.add(path.toString());
return;
}
for (int i = 0; i < len; i++) {
if (!used[i]) {
// 根据已排序字符数组, 剪枝
if (i > 0 && sChar[i] == sChar[i-1] && !used[i-1]) {
continue;
}
path.append(sChar[i]);
used[i] = true; // 标记选择
dfs(res, sChar, len, path, depth+1, used);
path.deleteCharAt(depth);
used[i] = false; // 撤销选择
}
}
}
} 以上内容整合了几方资源，仅作为个人日后复习查阅，侵删。