剑指Offer - 九度1373 - 整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

剑指Offer - 九度1373 - 整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）
2014-02-05 23:03

题目描述：

亲们！！我们的外国友人YZ这几天总是睡不好,初中奥数里有一个题目一直困扰着他,特此他向JOBDU发来求助信,希望亲们能帮帮他。问题是：求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数。

输入：

输入有多组数据,每组测试数据为一行。

每一行有两个整数a,b(0<=a,b<=1,000,000,000)。

输出：

对应每个测试案例,输出a和b之间1出现的次数。

样例输入：

0 5

1 13

21 55

31 99

样例输出：

1

6

4

7

题意分析：
　　对于给定的整数a和b，求出从a到b所有整数中，数字‘1’出现的次数。
　　这题显然不会让我们逐个统计每个数字中‘1’出现的次数，太慢了。
　　可以按照位数从低往高进行递推：
　　　　1. 定义所有n位数中(也包括1位、2位、...、n-1位)‘1’总共出现了f[n]次。
　　　　2. f[0] = 0
　　　　3. f[n+1]=10*f[n]+10^n。多出来的10^n表示最高位为‘1’的10^n个数。
　　有了这个f[n]后，可以以log10(n)的复杂度递归求出从1~n中‘1’出现的次数。然后对a、b求解后求出差即可。要注意，a和b指不定谁大，必要的时候交换一下。
　　时间复杂度O(log10(a) + log10(b))。空间复杂度O(log10(max(a,b)))，虽然接近常数，但也不能写成O(1)哦。

 1 // 688882    zhuli19901106    1373    Accepted    点击此处查看所有case的执行结果    1020KB    1161B    0MS

 2 // 201402020057

 3 #include <cstdio>

 4 using namespace std;

 5 

 6 long long int sum[11];

 7 

 8 long long int solve(long long int x)

 9 {

10     long long int b10;

11     int idx;

12 

13     if (x == 0) {

14         return 0;

15     } else if (x < 10) {

16         return 1;

17     }

18 

19     b10 = 1;

20     idx = 0;

21     while (b10 * 10 <= x) {

22         b10 *= 10;

23         ++idx;

24     }

25     /*

26     printf("b10 = %lld\n", b10);

27     printf("idx = %d\n", idx);

28     */

29     if (x / b10 > 1) {

30         return (x / b10) * sum[idx] + b10 + solve(x % b10);

31     } else {

32         return sum[idx] + (x % b10 + 1) + solve(x % b10);

33     }

34 }

35 

36 int main()

37 {

38     int i;

39     int x, y;

40     long long int b10;

41 

42     sum[0] = 0;

43     sum[1] = 1;

44     b10 = 1;

45     for (i = 2; i <= 10; ++i) {

46         b10 *= 10;

47         sum[i] = 10 * sum[i - 1] + b10;

48     }

49 

50     /*

51     for (i = 0; i <= 10; ++i) {

52         printf("sum[%d] = %lld\n", i, sum[i]);

53     }

54     */

55 

56     while (scanf("%d%d", &x, &y) == 2) {

57         // the problem should've told me what to do if x > y, it's unfair.

58         if (x > y) {

59             i = x;

60             x = y;

61             y = i;

62         }

63 

64         if (x == 0) {

65             printf("%lld\n", solve(y));

66         } else {

67             printf("%lld\n", solve(y) - solve(x - 1));

68         }

69     }

70 

71     return 0;

72 }