软件设计师【软考中级】复习笔记 —— 第七章（数据结构与算法基础）

该章节对于软件设计师来说非常重要，这部分内容除了在上午的综合部分考到，下午设计部分也会考到。且算法基础部分的下午题，属于整个下午考查最难的部分。

7.1 数据结构与算法基础

7.1.1 课程内容提要

线性表中栈和队列每次必考，树和二叉树必考

7.2 数组

掌握：数组地址的计算；二维数组按行存储和按列存储的区别。
二维数组：按行按列存第一个元素都是a[0][0]；
第二个元素：按行存是a[0][1]，即第0行的第1个元素；
按列存是a[1][0]，即第1列的第0个元素。
a[0][0]=a
二位数组是一张表结构，但是在计算机内存中是没有表结构的，都是线性存储。
二维数组在计算机中都是一维数组顺次存下来的。

解析：二位数组是一张表结构，但是在计算机内存中是没有表结构的，都是线性存储，所以，
a[2][3]表示的在表格当中的第二行的第三个数据，因为数组是5行5列，即该位置在线性表中是 25+3，即第13个位置，因为数组下标从0开始，所以，第13个位置，表示第14个数据，每个占得长度为2字节，所以为142=28。

7.3 稀疏矩阵

稀疏矩阵考试经常只考察一个点，计算稀疏矩阵当中某一个元素对应的一维数组的下标。
稀疏矩阵：二位数组中大量元素都为0 的话，就称为稀疏矩阵。


考试比较便捷的方法，代入法，因为公式肯定通用所有的可能，带入特殊值，不符合的排除，特殊值符合的有两个以上就在代入以特殊值试。依次排除。选A。

7.4 数据结构的定义

7.4.1 数据结构的概念：

数据结构即计算机存储即组织数据的方式。选择不同的数据结构，带来的运行效率差异很大。

7.4.2 数据逻辑结构

非线性结构可分为树形结构和图。
树形结构中没有环路，而图中有环路。
广义的图既包括树形结构，也包括线性结构。
广义的树包括了线性结构。
所以，主要的区别是从逻辑结构上来讲，分成这几种类型，便于我们进行分类的探讨与研究。

7.5 顺序表与链表

7.5.1 线性表的概念

7.5.2 线性表常见的两种存储结构

一种是顺序表的方式来存储，另一种是链表的方式来存储。

开辟了连续的空间，顺次的把表存进来，即一维数组的方式来存信息。

链表：每一个存储单元包含了存数据的部分和存指针的部分。因为这一部分空间是不连续的。

链表的基本操作

单链表删除节点：要删除a2节点，我们只需要让a1的next指向a3即可。
但是a3是没有直接指针指向的，所以需要辅助指针，q的next。
让p的next指向q的next。

单链表插入节点：要将x节点插入到a1和a2之间，要插入的节点用s指针指向它，辅助指针指向a1；
先将新节点的指针指向a2，即s的next指向p的next。再将p的next指向s。

双向链表删除和插入的原理和单向链表相同，只是操作复杂一点，因为涉及两套指针的修改。
单链表分有头节点的和没有头结点的。
有头节点的，单独有一个头结点，该节点不存任何信息，头结点的下一个元素才存信息，引入头节点有啥好处——引入头节点可以让所有节点的操作方式变成一致的。 如果头节点存了数据，那么头节点的处理往往要采取不同的处理方式。

7.6 顺序存储与链式存储

线性表-顺序存储与链式存储对比。

顺序存储存储密度为1，即100%；链式存储因为要存指针，所以存储密度小于100%。
给定下标读取时候，顺序存储更优。

7.7 队列与栈（每次基本都考）

循环队列：对头和队尾连接起来，形成了一个圈。
对空条件：头和尾相等，指向同样的空间。
对满条件：也是头和尾相等。为了避免混淆，所以约定，少存一个元素，即队列的最大存储容量是（可以存的总数-1）。所以，队满的条件是：（队尾+1）% 可以存的总数 = 队头，即为队满。
习题解答：a、b、c依次入栈，则出栈顺序是c、b、a；
a先入栈，再a出栈；然后b入栈，b出栈；然后c入栈，c出栈。出栈顺序是a、b、c。
a、b先入栈，然后b先出栈，a在出栈，然后c入栈，出栈，出栈顺序是a、c。

7.7.1 例题

选D。分析：e4每个选项都有，必然是最先出来的，故排除e4，不去考虑。
A：只要从左端依次输入e1，e2，e3，e4即可。
B：左端放入e1，e2，右端放入e3，左端放入e4。
C：右端放入e1，e2，左端放入e3，e4。

7.8 广义表

广义表长度和深度的求法要求掌握

LS1中，第一个是表元素，第二，第三都是子表。
例1答案：长度为3，深度为2。
广义表中有两种操作：取表头head和取表尾tail。
表头：最外层的第一个表元素。
表尾：除了第一个元素以外的其他所有元素。
例2：只有取表头和取表尾，如何取出b元素。
head ( head ( tail ( LS1 ) ) ) 即可取出b字母。

7.9 树与二叉树的基本概念

结点：即图中，1,2,3,4,5,6,7,8
结点的度：一个结点拥有的子结点数。1号结点拥有两个孩子结点，所以1号结点度为2。3号结点只有一个孩子结点，所以度为1。
7号结点是一个叶子结点，没有孩子结点，属于最末端的节点，度为0。

树的度：在一个树当中，所有结点度数最高的度就是树的度。上面的树所有结点度数最高的为2度，所以整个树的度为2。

叶子结点：类似4，5，7，8没有子结点的都属于叶子结点。

分支结点：类似2，3，6这种有分支的结点。

内部节点：即非叶子结点，也非根结点。（2，3，6这种夹在中间的结点）

父结点、子结点：相对概念，2，4之间，2是父结点，4是子结点，但是在1，2当中，1才是父节点，2是子结点。

兄弟结点：属于同一个父结点，平级的结点。

树的层次：树总共有几层。

7.10 满二叉树与完全二叉树

满二叉树：整棵树没有缺失的结点，所有结点的及子结点都是完整的。

完全二叉树：除了最底下一层，上面的层次都是满的树。而底下一层的结点是从左到右排列的。左边的结点都是满的，缺的只是右边的结点。编号依次排列，没有缺失。

非完全二叉树：编号有缺失，跳跃。

7.11 二叉树遍历

7.11.1 层次遍历：

一层一层的来，先把第一层的结点从左到右访问完，再来第二层，依次类推，遍历完所有层次的结点。
上面层次遍历的结果是：1、2、3、4、5、6、7、8

前序、中序、后序区别就是根结点什么时候访问。

7.11.2 前序遍历：（根左右）

先访问根结点，再访问左子树和右子树结点。
前序遍历结果：1、2、4、5、7、8、3、6

7.11.2 中序遍历：（左根右）

先访问左子树结点，再访问根结点，再访问右子树结点。
中序遍历的结果：4、2、7、8、5、1、3、6

7.11.3 后序遍历：（左右根）

先访问左子树结点，在访问右子树结点，最后访问根结点。
后序遍历的结果：4、8、7、5、2、6、3、1

7.12 反向构造二叉树

如果有前序和中序，或者中序和后序，都能够将一棵二叉树还原出来，但是仅仅有前序和后序是办不到的。
考查题型一般是给我们两种序列，让我们构造出相应的二叉树。或者给我们两种序列，问第三种。
分析例题：前序遍历的顺序是“根左右”，所以由前序遍历我们可以得到第一个是根结点，然后将根结点A这个结论代入到中序遍历中，找到A的位置，中序遍历的顺序是“左根右”，我们将根结点标识出来，就把左子树结点和右子树结点的分界点找到了。
BHFDE为左子树结点，CG为右子树结点。
左子树结点的字母当中，前序遍历第一个访问到的是B结点。同理，确定B为左子树的根结点。在中序序列中找到B，标识出来，确定H是B的左子树，EDF是B的 右子树。EDF三个结点中判断哪一个是根结点，回到前序遍历中，前序遍历中，这三个字母的顺序是FDE，则可以确定F是根结点。标注出来之后，发现D和E都是左子树结点。进一步分析可以得出D是D和E中的根结点，E在D的左边，所以E是左子树结点。
同理，完成C和G的分析，我们就可以构造出一棵完整的二叉树。
答案如下：

如果有前序和中序，或者中序和后序，都能够将一棵二叉树还原出来，但是仅仅有前序和后序是办不到的。
考查题型一般是给我们两种序列，让我们构造出相应的二叉树。或者给我们两种序列，问第三种。
分析例题：前序遍历的顺序是“根左右”，所以由前序遍历我们可以得到第一个是根结点，然后将根结点A这个结论代入到中序遍历中，找到A的位置，中序遍历的顺序是“左根右”，我们将根结点标识出来，就把左子树结点和右子树结点的分界点找到了。
BHFDE为左子树结点，CG为右子树结点。
左子树结点的字母当中，前序遍历第一个访问到的是B结点。同理，确定B为左子树的根结点。在中序序列中找到B，标识出来，确定H是B的左子树，EDF是B的 右子树。EDF三个结点中判断哪一个是根结点，回到前序遍历中，前序遍历中，这三个字母的顺序是FDE，则可以确定F是根结点。标注出来之后，发现D和E都是左子树结点。进一步分析可以得出D是D和E中的根结点，E在D的左边，所以E是左子树结点。
同理，完成C和G的分析，我们就可以构造出一棵完整的二叉树。
答案如下：

7.13 树转二叉树

树方面的内容基本是围绕二叉树展开的。
一般对于普通的树没人做研究，所以一般会将普通的树转为二叉树进行分析，讨论。
如何将树转成二叉树，有一个基本原则：
在树当中一个结点的孩子结点都会成为这个孩子的左子树结点，兄弟结点都会成为这个树的右子树结点。

例题分析：根结点为1，之下的2、3、4都是它的孩子结点，而没有兄弟结点。所以我们会将2、3、4作为左子树结点来处理。那么会有3个，但是在构造二叉树的时候，某个树的左子树结点只能有一个，于是便指定，所有孩子结点中，最左边一个作为左子树的根结点，此时，对于2而言是有兄弟结点的，3和4都是它的兄弟结点，3和4会被当成2的右子树结点，此时又有两个，只能取一个3，对于3而言，有5、6、7三个孩子，三个孩子当中，5会成为左子树结点的根结点，6由于是5的兄弟结点，成为它的右孩子结点，7是6的兄弟，所以6的右3孩子，同理来处理4、8、9，就得到了一棵二叉树。

如果要简单的去转化二叉树，还有一个方法：连线法。对于兄弟结点我们把它连线，对于有多个孩子的，只保留第一个孩子的那一条线，兄弟结点直接平连起来，在把树做一下旋转，就能得到二叉树，如上图所示。

7.14 查找二叉树（排序二叉树）

左小右大

查找二叉树是一种比较特殊的二叉树，特殊之处在于：
查找二叉树的根结点的左子树结点都比根结点的值要小，右子树结点的树都比根的值要大。对于每一级子树也满足这个条件；
对于所有左子树小于根结点，右子树大于根结点的树，称为查找二叉树，或者称为排序二叉树。

这种树构造出来的价值和意义何在？
能够极大的提高查询的速度，效率。

查找二叉树进行插入节点和删除节点要进行怎样的操作？
插入结点：不允许有两个结点的值相等。
删除节点：
掌握查找二叉树的基本特性，插入和删除是拔高阶段要掌握的。

7.15 最优二叉树（哈夫曼树）

最优二叉树又称为哈夫曼树，这种树是一种工具。用于哈夫曼编码：哈夫曼编码是一种压缩编码方式，能够让原始信息的编码长度变得更短，从而节省存储空间和传输带宽。这种编码在多媒体领域的压缩技术当中经常使用到，属于无损（压缩之后可以还原，不会有信息的损失）压缩的方式。

考查： 1：了解哈夫曼树的基本概念；
2：会计算树的带权路径长度。（计算哈夫曼树的方式，构造哈夫曼树的过程）。

树的路径长度：树当中的路径，一段一段累加起来有多长。

权：某个叶子结点他有一个数值，这个数值代表了某一字符出现的频度。

带权路径长度：将路径的长度求出来，再乘以权值；
2号结点，从根结点到2号结点，路径长度为2，该结点的权值为2，所以带权长度为4；
4号结点，从根结点到4号结点，路径长度为3，权值为4，所以带权长度为12；
8号结点权值为24。

树的带权路径长度：将所有的带权路径长度累加起来，就是树的带权路径长度。

构造一棵哈夫曼树，要达到的效果是：让一个棵树的带权路径长度是最短的情况。
同样是1、2、4、8组成的哈夫曼树，第一种方式组成的树的带权路径长度有41，第二种只有25，所以，第二种树的带权路径长度总得来讲要短一些，我们的目标就是构造最短的带权路径长度的树。

例题分析：在整个树列当中选出两个权值最小的构成一棵小的子树，即3和5，这个小树的权就是8，然后在原来的树列中将5和3删除，将8加入树列；
然后在该树列中找出两个权值最小的7和8，构成一棵树；将7和8在原树列中删掉，将15加入新树列；
选出最小的两个8和11，8和11构成的结点，权值19；
接下来最小的就是14和15了，14和15构成的29，以此类推，一层层垒上去，就得到这棵哈夫曼树。
求整棵哈夫曼树的带权路径长度。将每个叶子结点的带权路径长度求出来，再累加。

为什么求树的带权路径长度，只要求叶子结点，而不要求分支结点？
因为只有叶子结点是初始的权值，所有的中间结点都是我们构造出来的中间结点，在原始数据中，没有这些结点，所以只要将叶子结点的带权路径长度累加起来即可。

7.16 线索二叉树

在二叉树的基础之上，会有虚线的渐线，把很多结点串起来。
为什么提出线索二叉树？
因为我们发现在二叉树当中，很多节点是属于空闲状态，有很多指针都是空的，没有利用起来。我们可以将这些空闲的资源利用起来，主要就是为了方便遍历。由于方便遍历，所以提出了前序、中序、后序线索二叉树。

前序线索的箭头是按前序序列来生成的。
中序线索的箭头是按中序遍历时的顺序来生成的。
后序线索就按后序遍历的顺序来生成。
其中左子树结点的指针指向当前结点遍历当中的前序结点。
右子树结点的指针指向该种遍历的后序结点。

如图，前序线索二叉树，前序遍历结果是ABDEHCFGI，左子树结点D的的指针指向当前结点遍历当中的前序结点B。右子树结点的指针指向前序遍历的后序结点E。

7.17 平衡二叉树

同样的一个序列，排序二叉树可能有多棵，形态不一样。
上图，最左边和最右边的排序二叉树都是同一个树列生成的，但是最右边的查找效率更好，更平衡。
一棵排序二叉树越平衡，它的查找效率越高。

平衡二叉树的定义：任意结点左右子树的深度相差不超过1，也就是每个结点的平衡度只能为-1，0或1。
平衡度如何求：对于所有的叶子结点而言，他们的平衡度都是0，因为左子树深度为0，右子树深度也为0，相减也为0。

对于不平衡的二叉树，要进行调整，调整思路：把相应的树折过来。
平衡二叉树平衡度的计算及左右子树的深度相差不查过1。
不能忽视，有些地方的一些子树比较特殊，要一层一层让每一棵树都达到相关的要求。
这棵树才能是平衡二叉树。

7.18 图的概念及存储

无向图：左边的图，指两个结点之间的连线是不带箭头的，这种线代表1和2之间既可以从1到2，也可以从2到1，没有方向性
有向图：右边的图，有向图的所有的边都是有方向性的，从1到2的边是从1到2引入的箭头，箭头指向代表只能够从1到2，带方向性，反过来会有一条从2到1的箭头代表2也能够到1，假设只有从1到2的箭头，代表从2到1是走不通的。

完全图：无论无向图还是有向图，都有完全图的概念，所谓完全图就是该链边的地方都连好了，连全了，连满了；
在无向图中，四个结点最多只能连6条边。

7.18.1 图的存储——邻接矩阵

图中存储方式主要有两种：
第一种就是邻接矩阵，用一个矩阵来存图的关系。
第二种就是邻接表。

邻接矩阵：矩阵的大小取决于点的数量，上面总共有5个点，所以邻接矩阵是个5X5的二维表，1到1，就是自己到自己，没有连线，所以坐标（0,0）位置用0表示，代表1和1之间没有边；
1和2之间有一条边，所以（1,2）坐标对应1；
1到3有边，所以（1,3）坐标位置对应的也是1；
2到1·有边，所以（2,1）坐标位置对应1，以此类推。
对于无向图而言，邻接矩阵，按左上到右下的对角线有对称性，所以，如果想节省存储空间，可以只存上三角或下三角矩阵。

7.18.2 图的存储——邻接表

利用邻接表如何来存一个图：
邻接表首先会有一个表记录了所有的结点，每个结点能够到那个结点，用链表的方式存起来；
对于V1结点，跟他相邻的结点有V2、V4、V6，到V2距离是6，到V4距离是1，到V6距离是50；所以邻接表中记录到V2记录6，到V4记录1，到V6记录50；
同理，从V2可以到V3，V5，V4，以此类推。就是邻接表的方式来存储一个图的基本信息。
会用一个数组来记录图的结点，再用链表来记录每个结点可以到的顶点情况。

7.19 图的遍历

深度优先：根据线索一层一层深入到底，只有无法继续深入，才退回来进入下一个分支。
广度优先：把一个结点所相邻的所有结点全部访问完，在继续下一个层次。
这种示意不是很严谨，因为我们不知道它存储的结构如何。

从V0作为起点进行相应的遍历：
按广度优先遍历，会先访问V4，V3，V1，因为这是V0所邻接的一系列结点，把这个链表李的所有结点全部访问完，然后再访问到V4，V4邻接的结点V6，（V4、V0已经访问过了，不管它），这是广度优先的走法。访问完V4邻接的，就访问V3邻接的V6，V6刚已经访问过，不再访问，V0也是，再就是V1所邻接的，V4访问过了，V2没有访问， 在通过V2线索访问到V5，访问完V5，在回溯到V4邻接的V6，V6邻接的有V7，是按邻接的顺序去走。

深度优先：V0到V4，在访问V4邻接的V6，再访问V6所邻接的V7，到V7，深度的一条线已经走到底了，回退到。
深度就是试探到底，不能深入了，回退一步，在往下，在回退一步，在往下。

7.20 拓朴排序

拓扑排序：用一个序列来表达一个图当中哪些事件可以先执行，哪些事件可以后执行。
因为在项目当中会有多个活动需要完成的任务，这些任务之间可能存在着一定的约束的关系，必须要先完成哪一个工作，才能开始下一个工作。有这样的先后关系，我们可以把先后顺序排列下来。看可以用什么样的顺序来完成该任务。

拓扑序列如何求解？
在上图中，可以执行的第一个任务是0，其他的所有任务都不可以排在一个进行，因为0是没有任何约束的（没有任务箭头指向它，代表了没有任务可以约束到0），一开始就可以执行。0执行完之后，1和2不受约束了，可以执行1，也可以执行2，并且只有当1和2都执行完，才能执行3和4，先执行4，在执行3，然后可以执行5或者6，3、5、6都执行完，最后才能执行7。
所以，拓扑排序可能产生多个不同的序列。

7.21 图的最小生成树（普里姆算法与克鲁斯卡尔算法）

图的最小生成树：把这个图当中很多的线、边去掉，只留下若干条边把所有节点连贯起来，留下来的边都是权值比较小，从而使得整个留下来的部分它的权值加起来是最小的状态。
留下来的这部分被称为生成树，说明已经是一种树结构了。

树和图的区别：最大区别是树没有环路，图是有环路的。
如果一棵树的结点树是n，那么它的边的条数最多就是n-1，如果边也是n的话，就说明已经是图了，已经构成了环路。

图生成树，根据图的结点选出边来，上面有6个结点，应该选出5条边，这5条边加起来的长度是属于最短的情况，就是最小生成树。

求最小生成树：常用算法有两种，一种是普里姆算法，另一种是克鲁斯卡尔算法。

7.21.1 图的最小生成树——普里姆算法

普里姆算法：从任意一个结点出发，比如选A结点，将A定义为红点集，其他结点定义为蓝点集，A进入红点集之后，整个红点集只有A一个结点，然后找出从红点集到蓝点集合里面最短的距离，A能到B距离100，能到C距离400，能到F距离250，能到E距离200，选最短的100，将树中的A和B连起来，然后将和A连起来的结点自然就纳入到了红点集，纳入到红点集之后，再看从红点集到蓝点集最短的距离，最短距离是红点集中的A到E距离200，所以，将树中的A和E连起来，E进入红点集，E进入红点集之后，红点集到蓝点集最短距离是A到F距离250，将A和F连起来，此时，F进入红点集，再从红点集出发到蓝点集，最短的是F到D距离200，将F和D连起来，将D纳入进红点集，然后最短距离是D到C距离300。
这样就形成了最小生成树，这些线的总长度，会是图当中选出5条线最短的情况；另外，我们选的这些边要注意一个原则：不能够形成环。一旦形成环，就不满足要求了。

7.21.2 图的最小生成树——克鲁斯卡尔算法

克鲁斯卡尔算法：首先确定要选5条边，从最短的边选起，最短的边是A到B之间的100的一条边，接下来剩下的可选的是A到E之间的200的第二条边，F到D之间200的第三条边，接下来就是A到F250的第四条边，接下来不能选B和F之间的300，因为会形成环，只能选C和D之间的300的第五条边。

7.22 算法的特性

确定性：同样的数据输入进去，只能够得到相同的数。
输入：0个或0个以上的输入。
输出：最少有一个输出，没有任何输出的算法是没意义的。
有效性要注意和有穷性区别，有穷性是步骤的数量，有效性是每个步骤都能得到有效的结果。
比如：除法运算中，除数为零就违反了有效性原则。

7.23 算法的时间复杂度与空间复杂度

算法负责度分为时间复杂度和空间复杂度两个维度：
考的比较多的是时间复杂度，下午的设计题中出现关于时间复杂度的提问。
让你来分析咱们的程序代码说涉及到的算法的时间复杂度情况如何。

O(1)代表时间复杂度是常数级。比如执行：i = 0 这样赋初值的语句，这样的语句时间复杂度就是O(1)。如果还有两条 j = 0，k = 1，3条，时间复杂度可以记为O(3)，当然，更多的时候是将O(3)写成O(1)的形式，因为如果确定只有3条，或者说可以用常数表达的条数，那就认为都是常数级的时间复杂度，所有常数级的时间复杂度都用O(1)来代表。
比如有一个循环，循环次数为n，时间复杂度记为O(n)，代表整个算法要执行消耗的时间，它的规模和n的大小是正相关的。

假设有一个嵌套循环，外层循环和内层循环的循环变量都是1~n，那么该嵌套循环的时间复杂度就是O(n)2，三重循环就是O(n)3。

在对树的处理中，经常用到O(log 2n)，假设有一棵平衡度很高的排序二叉树，我们要去查找排序二叉树中的一个键值，此时的时间复杂度和二叉树的层数有关，二叉树有多少层，我们最多就比多少次，次数就是 log2n，n就是结点的数量。

7.24 顺序查找与二分查找

7.24.1 查找-顺序查找

顺序查找平均比较次数为 n+1 / 2 ，1代表第一个比对就找到了 ，n就是将n个数据都比对了一次。
顺序查找的时间复杂度为O(n)，因为n+1 / 2，当n很大时，1可以忽略不计，相对于是n/2，
n / 2就是O(n)数量级的。
顺序查找常见，简单，但是整体效率不高

7.24.2 查找-二分查找

不是所有序列都能用二分查找法，二分查找到前题是该序列是有序排列的。

7.27.3 例题

二分查找注意事项：
中间位置确定是向下取整，比如上图1+12/2=6.5，取整中间位置为6，下一次比较时候，6号位置不参与比较，只比1——5号，因为6号已经比较过了。
二分查找法整个的时间复杂度：

log2n 向下取整+1，效率高，查找数据越多，优势越明显。

7.25 散列表

散列表跟之前讲过的按内容存储比较接近，散列表本身就是按内容存储的。
存储之前就定好规则，存储到相应的空间中。取和查就很方便。

线性探测法：当两个数的存储空间冲突时，当前空间已有数字，将第二个数顺次放到该空间的下一个空间。例如：当前3号空间被占了，就将该数装到3号空间的下一个空间，即4号空间。如12存在2号位置，17也存在2号位置，但是2号位置已经被12占了，只能放到下一个空间，下一个再被占，就在下一个，依次规则，往后顺次移动就是。
散列表要做好，就要精心设计，让冲突的可能性尽可能的小。效率才会高。
可以将整体空间设计大一些，冲突概率就降低了。

伪随机数法：二次散列。即当存储空间冲突时，可以再设计一个散列函数，进行二次散列，得到新的空间。

7.26 排序（必考）

排序在整个数据结构与算法部分是非常重要的部分，每次考试必考排序。
有时仅在上午题中考，有时上午下午都考。

稳定与不稳定排序：以上树列中，存在红色和黑色两个21，未排序之前黑色21在红色21之前；那么稳定排序之后，黑色21依旧在红色21之前，即键值相同等的数的顺序不会因为排序而发生改变；而不稳定排序之后，无法保证键值相等的数的顺序的原始顺序。

内排序和外排序：内排序是指在内存中进行的排序；而外排序会涉及到外部的存储空间。

直接插入排序小效率简单，操作容易，但是效率没有希尔排序高。

快速排序较冒泡排序效率比较高，但过程相对复杂。

堆排序的效率很高，但是整个处理过程复杂。堆排序建堆的过程和操作排序二叉树类似，涉及到把堆建立起来之后，要删除一个结点，应该如何调整这棵树仍然是一个堆的基本形态。

正是因为快速排序，堆排序这种比较复杂，不容易实现的排序算法，考试考程序会考的多一些。简单的算法，考程序基本很少考。

归并排序和基数排序了解基本思路。考查概率相对较小。

7.27 直接插入排序

7.28 希尔排序（属于插入排序的一种）

n代表将要排序序列数字个数。
分析排序过程：首先取到的d1是5，也就是每隔5个元素分成一个组，如：第一个57和隔5个后的第六个元素28为一组，以此原则分组。然后组内进行直接插入排序，如：将57和28进行比较，57>28，将57和28进行交换，以此原则将每一个组内完成相应的排序。

排序之后将新的序列分组值d2进一步缩小调整，调整到3，没相隔3个元素是一组，如第一、四、七、十位置的数28、24、96、72为一组，一次原则完成所有分组。再用直接插入排序给每一组进行排序，每一组排序完成后，得到新的序列。

对新的序列进一步取距离值为1，即所有数都是一个组，再进行直接插入排序。

这样操作的优势：经过前面两轮的初步排序之后，整个的序列变得基本有序了，然后在用直接插入排序，那么元素的挪动位置次数就大大的减少（经过两次分组排序后，偏小的数都在前部空间，偏大一点的数都在后部空间），直接插入排序进行插入的时候不需要比较很多次（在统计学上做过分析和研究），所以希尔排序整个的效率要比直接插入排序高。尤其当问题空间比较大时，效果更加明星。

希尔排序借助的理论基础：当排序的数列比较小时，直接插入排序效率还是可以的，当数据越多，直接插入排序效率下降明显。通过分组的方式将解决问题的规模缩小，先将序列大体理好，然后再一轮彻底排好。

7.29 直接选择排序

7.30 堆排序

7.30.1 堆的概念

堆结构和完全二叉树结构相同。
所有孩子结点都小于根结点属于大顶堆。
所有孩子结点都大于根结点属于小顶堆。

7.30.2 堆排序

堆排序首先要建立堆，然后逐步的将堆顶元素取走，排成的序列就是有序序列；
如果要从小到大的去排列一个序列，建立一个小顶堆，第一个元素就要是最小的。
首先建立一个堆，然后 取走堆顶，然后再将堆进行重建，重建堆之后再取走堆顶，以此类推，直达把堆中的所有元素全部取走，完成排序。
其中最重要的步骤就是初建堆。

建堆按完全二叉树的方式来建，将数组中的元素顺次的排下来，构成的是一棵完全二叉树。如图1-1。
此时只是排列，并不属于堆，不满足大顶堆和小顶堆的特性。还需要调整，从最后一个非叶子结点开始调整（非叶子结点在图1-1中有1、3、4、5结点）。最后一个是5结点。从5结点开始调，看5是否大于它的两个子结点，因为我们要建一个大顶堆，5如果都大于两个孩子，不变动；但是目前5小于其中一个孩子结点，将5和孩子中的最大值和根结点5进行交换进行交换，交换之后如图1-2所示（局部的小调整）。 调整完之后，就开始调整倒数第二个叶子结点，调整原则如上，交换完之后如图1-3所示。
接下来调整3结点，3结点涉及多级调整；
首先3和8进行交换（图1-4），交换3到了下面一层之后打破了堆的规则，所以该局部要进行进一步调整，将3和5进行交换（图1-5）。最后调到根结点，将根结点的1和8进行交换（图1-6），交换之后1要进一步往地下调，将1和7进行交换（图1-7）。
此时便构建了一个大顶堆，

分析过程：将大顶堆的堆顶取走之后，将这棵完全二叉树的最后一个结点（20），放到堆顶上去，然后进行堆的调整，将20和它的两个孩子进行对比，然后将20和最大的孩子进行交换，交换之后，再将20继续和它的孩子结点做对比，将20和最大的孩子50进行交换，往底下调，然后再和下面的孩子30和40做比较，继续和最大的孩子记性交换。
将20调整到完全二叉树的9号位置之后，如图f所示。
至此就完成了堆的重建调整。再将堆顶元素60取出去，在按上面的规则调整。以此类推，最后就能完成排序操作。
堆排序因为利用到了树的数据结构，效率比直接排序要高很多，同时，堆排序应用在n多个元素，不需要堆所有元素进行排序，只要对一部分极值名求出来，这种方式堆排序最合适，因为每次只选出一个来。

7.31 冒泡排序

7.32 快速排序

非常具有代表性的排序算法。
快速排序基本思想采用分治法，就是把一个问题分成若干个规模更小的问题来解决。
并且排序过程采用递归的方式来进行。

具体过程分析：对要排序序列定个基准，基准没有什么特殊的要求。如：在上面序列，定第一元素57为基准，基准此时在头部，尾部还有一个指针指向最末端的元素，将最末端的元素和基准进行对比，发现比基准小，将最后一个元素和基准做交换。基准处于最后面位置。
记下来指针指向第二个元素，第二个元素再和基准对比，发现比基准大，所以又交换，将基准换到第二个位置，如果该位置数比基准小，就不用交换，只有当比较元素在前，基准在后，而前面元素比基准还要大时，就要交换到后面，交换过去之后，又从倒数第二位开始，将24和基准比较，小于基准，对调，24放前面，通过这种类踢皮球的方式。
大于基准的都往后面放，小于基准的都往前放，经过一轮后发现，基准在中间，前面的序列都小于基准，后面的序列都大于基准，然后将两个小的序列进行完排序，整个序列就有序了。

通过基准元素及一系列的操作，将原来比较大的数列拆成两个小的数列，而每个小的数列，又可以用递归的方式用刚才同样的流程进行排序。这就是快速排序法，该方法整体比较高效。

7.33 归并排序

分析：假设对这8个元素进行排序，会将他们两两分组，每两个一组进行相应的排序，这个排序非常简单，然后前两组做归并，后两组做归并；第一次归并后的结果，57和52做比较，然后将较小的复制到R数组当中第k个单元，然后k+1，即数组的下一个单元，i+1即指向下一个元素，在比较i和j哪个小，即比较59和57，由于57更小，将57复制到k+1个单元，再讲值标指向68，（即将被取出组的值标下移一个单位继续比较）。
对于有序表进行合并，比无序表合并要比较的次数要少很多，所以这样的归并看起来元素比较多，但是归并速率是很块的，经过多伦归并，最终得到完整的有序表。

从之前学过的多种排序算法，都可以开出一种共同的思想，排序算法在很多地方动的脑筋都是把排序规模分块缩小。因为当问题规模扩大时候，所消耗的时间不一定是按线性增长的，可能是几何倍数增长的，所以一定要想办法将问题拆的更小一点。这样，虽然看上去要解决的问题变多了，但是每个问题的规模都很小，所以总体来讲，耗时反而会短一些。

7.34 基数排序

排序过程：将初始序列想按各位进行排序，如：135个位是5，放到5的位置，242个位是2放到2的位置，192个位也是2，链到242后面，以此原则，将个位收集起来进行排序，将按个位排序的结果序列按个位排序规则，进行十位排序；将十位排序的结果序列继续按照个位排序的规则进行百位排序，然后即可得到排序序列。

7.35 排序算法的时间复杂度和空间复杂度及稳定性

对于不同的排序算法，它的基本状况也是要求掌握的，考不同排序算法参数的，会涉及到哪些方面的参数：1。时间复杂度；2，空间复杂度；3.算法本身的稳定性（即同样关键字会不会改变顺序决定了它的稳定性）。