数学-e的自然之美
目录：
前言
利息中的e
微积分中的e
对数发明的历史
为什么自然界中存在这么多的对数螺线呢？
C程序输出斐波那契数列
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前言
现代我们知道，没有受过基础数学教育的人要想理解这些数，不仅需要了解更复杂的概念模型，还要熟悉加、减、乘、除等运算方法，只有这样才能完全明白。而更复杂的数，例如无理数、代数数和超越数，也需要了解更复杂的运算。
我们的主角e，就是超越数，既然理解e的含义需要理解相关的运算，而这些运算最早都和利息有关。
来源：www.zhihu.com/question/20296247/answer/29370489
引自：www.360doc.com/content/15/0315/11/22057344_455252965.shtml
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利息中的e
e和圆周率π都是超越数，π的含义可以通过下图的割圆术来很形象的理解。
假设等边形的对角线长为1，只要等边形的边足够多，算出来的周长就可以越来越接近圆周率π。
但是解释e的含义却很难找到这样直观的例子，阮一峰翻译的文章《数学常数e的含义》说的很好，只是公式太多，并不直观。
幸好我在原文《An Intuitive Guide To Exponential Functions & e》中找到了很直观的图，只要理解了这个例子，e的含义就明白了。
假设你在银行存了1元钱（下图蓝圆），很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！
银行一般1年才付一次利息，根据下图，满1年后银行付给你1元利息（绿圆），存款余额=2元
假设银行丧心病狂的每秒付利息，你也丧心病狂的每秒都再存入，1年共31536000秒，利滚利的余额≈2.7182817813元
这个数越来越接近于e了！
哎呀！费了半天劲也没多挣几个钱啊！
对！1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是e，有兴趣可以用这个网上计算器算一下。
我们和圆周率再做个对比：
- 多边形的边数和利滚利的次数是相似的。
- 对角线为1的n边等边形，n趋于无穷，周长就无限接近于π，即π是周长的最大值。
- 年利率为1（100%）的1元存款，利滚利的次数n趋于无穷，存款就无限接近e，即e是存款的最大值。
换种表述方法：
- 每个完美的圆，其周长都是π的倍数；
- 每个理想的存款，其余额都是e的倍数。
这里停一停，你好好体会一下。
按照自然的观点，如果圆是最美的，那最赚钱也是最理想的。
有人问了：为啥银行不每秒返利息呢？这样就不是100%回报率，而是171.8%了，还我的71.8%！
银行哭到：臣妾做不到啊！！！
以上是意淫，银行不会这样发利息，洗洗睡吧。
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利息的逆运算
还是从一个虚构的故事开始：
- 有一土豪要去银行存入大额存款，比如存1元。
- 银行经理推荐他投资理财产品，因为年利率高达100%，按照指数运算，bla bla bla……
- 但土豪的数学只有小学水平，听不懂有点烦，就问投资多长时间才能到10倍，100倍，1000倍？
- 经理有点懵，土豪不按常理出牌啊！
- 一般人都是根据存款时间问收益，例如收益第1年多少、第2年多少、第3年多少……
- 土豪居然逆向思维，根据收益问时间，多少年2倍，多少年5倍，多少年10倍！
- 不愧是老板，不问过程，只问结果！
- 于是经理就从第1年开始算，把10年内每年的收益都算出来，列成一个收益列表，如下图：
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- 然后再找出收益最接近10倍，100倍，1000倍的年份指给土豪
- 土豪一看第4年、第7年、第10年就肯定超过预期收益，非常高兴！
经理用这张表查找收益，再找到最接近收益的大体年份的过程，就是利息的逆运算，是最简单的对数运算，这个表就是对数表的雏形。
其实这和我们根据加法表进行减法运算、根据乘法表进行除法运算是同一个道理。
例如知道了3×7=21，就可以很快知道21÷3=7的除法逆运算结果了。
好了，放松一下大脑，继续回来穿越历史。
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对数发明的历史
据说4000多年前，古巴比伦时代的人们就发明对数和对数表了，但因为我没找到资料证实，只能从近代开始。
16、17世纪，英、法加入了大航海的行列，开始了美洲殖民地的开拓，远洋贸易变得日益频繁。那时的人们已经知道地球是球形，大海上船只的位置靠经纬度来确定。
纬度测定很容易，几千年前人们就知道，通过测量北极星的仰角，可以估算出船已经在南北方向航行了多远。但是经度的测量不是一般的困难。在茫茫的大洋上，如果无法准确测定船只的经度，代价会极为高昂。
经度的精确测量问题直到18世纪才得到有效解决，这归功于约翰·哈里森发明了高精度机械钟表。这段历史还被拍成了电影和记录片，推荐一本精彩的书《经度：一个孤独的天才解决他所处时代最大难题的真实故事》和罗辑思维的节目《击溃牛顿的钟表匠》。
但是在哈里森之前的数百年里，人们只能求助于天文学家来解决，因为天空就是人们最早、最精确的钟表，太阳、月亮、星星等天体就是上面的表针，读懂这个钟表，就可以知道时间和经度了。
天文学家观测天体，计算出运行的轨道，来预测未来几年每个时间点上天体所在的精确位置，英国天文学家以格林尼治天文台的时间为基准，再把时间和天体位置整理成详细的表格，公开出版发行。这套星表可不便宜，星表加上六分仪售价约20英镑，相当于现在2万人民币，即便这样也经常脱销。海上的人用六分仪测量天体，再去查那本高价天文表格，求得当地时间和格林尼治时间，知道两地的时间差，就知道现在的经度了。
16世纪和17世纪之交，天文学家第谷和开普勒通过大量的观测，绘制了当时最精确的星图，解决了天文学家天文数据精度不足的难题。有了高精度的星图，全欧洲的数学家开始了天体轨道的计算竞赛，很多科学家也因此获得了商业和学术上的丰厚回报。那时的天文学家、数学家可不是像现代这么冷门，更像当今那些IT、金融等热门行业里的精英一样，享受着人人羡慕的不菲高薪。
顺便说一下，日心说之所以能取代地心说，也是因为日心说模型更简洁，不仅计算起来更简单，而且预测非常准确，可以很好的解释行星逆行等现象，这是地心说完全做不到的。
即使这样，要想预测天体的运行，其计算也是极其繁琐和浩瀚的，在解决计算问题时，数学家们发明了大量崭新的数学理论和计算工具，包括对数、解析几何、微积分和牛顿力学等伟大的创新。可以说天文学是当时科学界最闪亮的宝石，是当时的高科技热门产业。其中，对数的发明人就是约翰·纳皮尔
纳皮尔是天文学家、数学家，在计算轨道数据时，也被浩瀚的计算量所折磨。
看起来在数学实践中，最麻烦的莫过于大数字的乘法、除法、开平方和开立方，计算起来特别费事又伤脑筋，于是我开始构思有什么巧妙好用的方法可以解决这些问题。
--约翰·纳皮尔，《奇妙的对数表的描述》（1614） 《e的故事：一个常数的传奇 》
但纳皮尔不是一般人，不想像IT民工一样苦逼的重复劳动，于是用了20年的时间，进行了数百万次的计算，发明了对数和对数表，堪称学霸中的战斗机。
为了理解对数计算的优势，我们通过案例来说明，下面的表格里有两个数列：
第1行是自然数，他们是等差的；
第2行是2的倍数，他们是等比的；
要计算第2行的等比数列中任意两个数的乘积，例如16x64；
先到第1行的等差数列，寻找对应的数，16对应4，64对应6；
然后做加法，4+6=10，再查找10所对应等比数列的1024；
得到计算结果就是16x64=1024
借助这个表，仅靠心算就可以用4+6=10的加法，完成麻烦的16×64乘法。
同样也可以进行除法变减法的运算，把1024/128，变为10-7=3，对应结果为8。
把这个表变的更长，就可以计算数值更大的乘法，这个表就是极度简化的对数表。
把直尺掰弯了就成了柱状算尺，像不像风水大师的道具？
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微积分中的e
有人说：我不懂微积分，估计看不懂！
没关系！你可以这样理解，积分是升维的过程，微分是降维的过程。
例如
把一张张纸叠起来变成厚厚的词典，这是从2维变成3维的升维，这是积分；
把一大块羊肉，切成一片片羊肉片，就是从3维为变2维的降维，这是微分。
在微积分中，底数为e的指数函数e^x，其导数还是这个函数e^x，也就是不论求多少次导数，其导数就像一个常量一样永远是恒定的。不知道别人的感觉如何，反正我第一次知道时是很惊奇的。
举个例子：
西瓜都切过吧？
无论你怎么切一个实心球，其横截面都是圆面，也就是3维降2维，还是和圆有关。
2维的圆面也是有很多1维的同心圆组成，也就是2维降1维，还是和圆有关。
如上所说，球被降维了2次还是和圆有关，π这个常数你是甩不掉的。
这一点对更高维度的球也适用，参见n维球面。
e^x也是这样，而且比球面更厉害
无论如何降维，e^x总是老样子，一点儿都没变！
就好像你切掉孙悟空的一部分，你以为是一小片肉，睁眼一看，居然是另一个孙悟空，而且一样大！
这种自相似或全息性太匪夷所思、太好玩儿了！
大刘！我知道怎么化解《三体》外星人的降维攻击了！
下面就是e^x在直角坐标系中的样子
美妙的螺线
在上面的部分中，指数函数e^x的美并没有真正的体现出来。
让我们换一个视角看，你一定会大吃一惊。
我们知道二维坐标系除了直角坐标系外，还有一种常用的是极坐标系，如下图
我们把指数函数e^x换成极坐标，就变成了e^θ，θ是点与极轴的夹角。
这时的指数函数就会变成下图的样子，这个螺线叫对数螺线（Logarithmic spiral），又叫等角螺线。
之所以叫等角螺线，是因为在极坐标中，螺线和射线的夹角始终是一个固定夹角，如下图所示，蓝线每次穿过射线时，其夹角是固定的，也就是等角，我们在后面会用到这个等角特性。
斐波那契数列就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……这样的数列。
其特点是前两个数加起来就是下一个数，例如
1+1=2
1+2=3
2+3=5
……
34+55=89
……
用这些数画出来的半圆，可以拼接成下面的螺线形状，这就是斐波那契螺线。
有趣的是这个数列还和黄金比例有关，例如55/34≈1.6176，接近黄金分割比例1.618，数列的数字越到后面，结果就越趋近于黄金分割这个无理数，如下图
不过斐波那契螺线仅仅是对一种叫黄金螺线（Golden spiral）的近似，黄金螺线是一种内涵黄金分割比例的对数螺线e^θ，下图红色的才是黄金曲线，绿色的是“假黄金螺线”（斐波那契螺线），近似却不重合。
很多科学家发现对数螺线e^θ在自然界中广泛存在。从大如星系、台风，到小如花朵、海螺……宇宙中到处都是对数螺线e^θ的身影
原来e以这种特殊的方式隐藏在自然之中。需要注意的是，这不是e被称为自然底数的原因，这和大自然没太大关系。
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为什么自然界中存在这么多的对数螺线呢？
因为对数螺线具有等角性，受环境影响，很多直线运动会转变为等角螺线运动。
我们以飞蛾扑火为例
亿万年来，夜晚活动的蛾子等昆虫都是靠月光和星光来导航，因为天体距离很远，这些光都是平行光，可以作为参照来做直线飞行。如下图所示，注意蛾子只要按照固定夹角飞行，就可以飞成直线，这样飞才最节省能量。
但自从该死的人类学会了使用火，这些人造光源因为很近，光线成中心放射线状，可怜的蛾子就开始倒霉了。
蛾子还以为按照与光线的固定夹角飞行就是直线运动，结果越飞越坑爹，飞成了等角螺线，最后飞到火里去了，这种现象还被人类称为昆虫的正趋光性。
蛾子说：
趋你妹的光啊，傻瓜才瞪着光飞，不知道会亮瞎眼啊？！！
我们完全被人类误导了，亿万年才演化出的精妙直线导航方法，被人类的光污染干扰失效了！
不用假慈悲的飞蛾扑火纱罩灯了，凸(#′)凸，赶紧把灯关了吧！
注意下图飞虫都在做螺线飞行，如果昆虫有趋光性。直飞不是更好吗？
不要以为只有蛾子会这样，人在用指南针导航时也有同样的问题，因为篇幅太长就不展开了，有兴趣请移步《既然昆虫有趋光性，为什么昆虫不齐刷刷地奔向太阳？》。
根本原因是原来作为参考的平行场变成了中心发散的场，导致直线运动变成了螺线运动。
我们也知道，绝对平行的场在自然界中是不存在的，只是我们为了计算方便，在小范围内近似认为平行而已。如果把尺度放大了看，更多的场是不平行的、是发散的，所以自然界中大量存在等角螺线现象就很正常了。
例如理想状态下，流体应该是直线运动的，但在发散场和地球自转的作用下，就会像飞蛾一样走出类似等角螺线的形状，天上的台风和水中的漩涡就是这样形成的，不过实际情况远比这要复杂，只能近似这样考虑。
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C程序输出斐波那契数列
#include "stdio.h"
void fobanacci(int n);
int main(void)
{
int n;
printf("输入你所要的斐波那契数项数（输入任何字母退出）：");
while(scanf("%d",&n)==1)
{
if(n<1)
printf("\n请输入大于0的整数\n");
else if(n>50)
printf("\n请输入小于51的整数\n");
else
{
printf("\n你得到的斐波那契数列如下：\n0\n");
fobanacci(n);
}
putchar('\n');
printf("输入你所要的斐波那契数项数（输入任何字母退出）：");
}
printf("拜拜！\n");
return 0;
}
void fobanacci(int n)
{
int f1=0,f2=1,f3=0,i;
for(i=1;i小于n;i++)
{
f3=f1+f2;
f1=f2;
f2=f3;
printf("%d\n",f3);
}
return;
}
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