排队论初探

排队论

一、泊松过程和负指数分布

1.1 泊松分布

​ 如果直接看泊松分布表达式，会觉得十分费解，不知道这个式子是怎么搞出来的。但是这个式子是可以推导出来的，他其实是下面这个式子的当n趋于正无穷的极限。
$$\begin{gathered} C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}, \\ p=\frac{\lambda }{n}\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$
​ 这个式子很好解释，第一行描述的是一个二项分布，做n次实验，有k个人来的概率。而第二个式子就是描述的是概率的计算过程，当实际观测中，在n次实验中，平均有 $\lambda$ 个人来，那么概率就可以用两者的比值来近似。

​ 那么对n取无穷极限的意思是什么，就是说对一段固定的时间进行极细密的分割，达到一种从离散到连续的过度，需要注意的是， $\lambda$ 的值不会随n的极限而变大，是因为在一段固定时间内发生的次数不会随分割的细度而增加，n的无穷是分割的意思，而不是重复原来的条件无数遍的意思，后面就是取极限的过程。
$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n^k(\frac{\lambda }{n}{)}^k(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{n-k} \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}\frac{{\lambda }^k}{n^k}(1-\frac{\lambda }{n}{)}^n(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{-k} \\ =\frac{{\lambda }^k}{k!}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^k}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{-k}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }(1-\frac{\lambda }{n}{)}^n \\ =\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$
​ 泊松分布的期望和方差均是 $\lambda$ 。

1.2 负指数分布

​ 介绍这个的原因是因为在排队论中，有一个重要结论，泊松流与时间间隔乘负指数分布的流等价，现在进行证明：

​ 首先我们需要对之前的泊松分布进行修改，之前的时间间隔默认是1，但是我们要考量时间间隔，单位化的时间单位是不足的，我们将原来的 $\lambda$ 改为 $\lambda t$ ，其中t比如是2，那么就是在两个时间间隔中有人来的次数，用线性模拟很正常。所以现在的式子就变成了
$$P(X=k,t)=\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}{e}^{-\lambda t}\text{\hspace{1em}(3)}$$
​ 表示在时间t内，有k个人来的概率，当x = 0的时候，就是说没有没有人来，就可以对应在时间段t内，没有人来的情况，也就是两个人到来的时间间隔，设Y是两个人来的时间间隔，有
$$\begin{gathered} P(Y>t)=P(X=0,t)=e^{-\lambda t}, \\ P(Y<=t)=1-P(Y>t)=1-e^{-\lambda t}\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$
可见是时间间隔符合负指数分布。正是如此，两者等价。

指数分布的期望是 $ \frac1\lambda$，方差是$ \frac1{\lambda^2}$

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二、排队论基本概念

2.1 排队论的分类

​ 为了描述一个排队系统，排队论广泛采用“肯德尔记号”
$$X/Y/Z/A/B/C\text{\hspace{1em}(5)}$$
​ 符号解释如下

• X：顾客相继到达时间间隔分布
• Y：服务时间的分布
• Z：服务台的数目
• A：系统的容量
• B：客户源数目
• C：服务规则

​ 其中，分布有如下记号

符号	解释
M	负指数分布，随机现象对于过去的事件无记忆性
D	定长分布，时间是以不变的方式发生的
$E_k$	k阶爱尔朗分布
G	一般随机分布

2.2 排队论指标

评价指标：

符号	解释
$L$	系统中的总人数，包括在排队的人数和在被服务的人数
$L_q$	在排队的人数
$W$	一个人从进入系统到离开系统的总时间，包括排队时间和服务时间
$W_q$	一个人排队的时间

​ 需要注意的是，这四项的计算都是期望计算。

系统指标：

符号	解释
$\lambda$	到达率，单位时间内达到系统的平均顾客数（进入）
$\mu$	服务率，单位时间可以服务完的的平均顾客数（离开）
$\rho$	服务强度，有 $\rho =\frac{\lambda }{\mu }$ ，反映了系统的繁忙程度，不能超过1

2.3 重要定理

2.3.1 基本公式

$$\begin{gathered} L=\sum _{n=0}^{\infty }n{P}_n \\ {L}_q=\sum _{n=1}^{\infty }(n-1)P_n \end{gathered}$$

2.3.2 Little定理

​ 虽然可以用基本公式进行计算，但是如果每一个都这样算的话，解太难了，因此我们开发了2.3.2和2.3.3的公式，有
$$\begin{gathered} L=\lambda W \\ {L}_q=\lambda W_q \\ W=W_q+\frac{1}{\mu } \\ L=L_q+\frac{\lambda }{\mu } \end{gathered}$$
​ 这组公式是可以在生灭过程的计算中得到验证的，但是这组公式不止局限于生灭过程，而是所有的排队论模型都适用。

2.3.3 P-K公式

​ P-K公式全称Pollaczek-Khintchine公式，因为推导中涉及构造性证明和分析性质，所以不建议自行推导。记住就好
$$L_q=\frac{{\lambda }^2{\sigma }^2+{\rho }^2}{2(1-\rho )}$$
​ 这个也是所有的模型都适用。

​ 结合2.3.2和2.3.3，可以知道排队论的评价指标仅仅依赖于服务强度 $\rho$ 和服务时间的方差${\sigma }^2$。与分布的类型没有关系。当方差越大时，队列越长，当强度越高时，队列越长。

2.4 状态平衡与生灭过程

​ 在排队论里，我们最重要的一个变量是 $P_n$ ，他代表的是稳定系统中有n个人的概率。仔细思考这个概念，什么是稳定系统？稳定的意思就是时间过了足够久以后再研究这个系统。当时间不足的时候，很容易上研究没意义，比如当时间接近0的时候，队伍肯定排不长。当到达稳定系统的时候，$P_n$就不会再受到时间t的影响了，这就是稳定的意思，有点像生理学中的稳态。

​ $P_n$不变，不是静止的，而是动态平衡，应该说，$P_n$会输入$P_{n-1}$，$P_{n+1}$会输出$P_n$，所以$P_n$是一种动态平衡，可以列出平衡方程。我们可以根据平衡方程和$P_n$的级数为1求解出$P_n$。

​ 在排队论中，有一类模型符合生灭过程，其满足的条件就是输入和输出都具有马尔科夫性，也 就是 $M/M/\cdots$ 这种形式的模型。如果不符合这种性质，推导会变得极为困难，所以要大量应用2.3.2和2.3.3的公式。

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三、生灭过程

3.1 M/M/1/$\infty$/$\infty$

​ 这是最基本的模型，我们在这里展示一下怎样求出关于 $P_n$ 的差分方程，然后在根据差分方程求出 $P_n$ 。

情况	t时刻顾客数	到达	离去	$t+\Delta t$时刻顾客数	概率
A	n	0	0	n	$P_n(t)(1-\lambda \Delta t)(1-\mu \Delta t)+o(\Delta t)$
B	n +1	0	1	n	$P_{n+1}(t)(1-\lambda \Delta t)\mu \Delta t+o(\Delta t)$
C	n - 1	1	0	n	$P_n(t)\lambda \Delta t(1-\mu \Delta t)+o(\Delta t)$
D	n	1	1	n	$P_n(t)\lambda \Delta t\mu \Delta t+o(\Delta t)$

​ 首先，要强调的是，上表能写成这种形式，最重要的就是输入过程和服务过程都是可以写成负指数分布的，只有是负指数分布，才能对其麦克劳林展开成这种形式，只有负指数分布，才可以应用马尔科夫性质。所以比如说是定长输入，就既不具有这种展开性质（都不连续），也不具有马尔科夫性质，所以才会存在很大的计算困难。

​ 因为要不受时间影响，所以 $P_n(t)$ 的导数应该为0，借助这个条件，可以得到差分方程组
$$\{\begin{array}{l}-\lambda P_0+\mu P_1=0\\ \lambda P_{n-1}+\mu P_{n+1}-(\lambda +\mu )P_n=0\end{array}$$
​ 解得：
$$P_n=(\frac{\lambda }{\mu }{)}^n{P}_0$$
据此可以解出各种指标，列举如下
$$\begin{gathered} L=\frac{\lambda }{\mu -\lambda } \\ {L}_q=\frac{\rho \lambda }{\mu -\lambda } \\ W=\frac{1}{\mu -\lambda } \\ {W}_q=\frac{\rho }{\mu -\lambda } \end{gathered}$$

3.2 系统容量有限情形 M/M/1/N/$\infty$

​ 只是把原来的求级数变成等比数列求和，因为差分方程相同，所以结构相似
$$P_n=\frac{1-\rho }{1-{\rho }^{N+1}}{\rho }^n$$
​ 评价指标如下
$$\begin{gathered} L=\frac{\rho }{1-\rho }-\frac{(N+1){\rho }^{N+1}}{1-{\rho }^{N+1}} \\ {L}_q=L-(1-p_0) \\ W=\frac{L_s}{\mu (1-P_0)} \\ {W}_q=W_s-\frac{1}{\mu } \end{gathered}$$

3.3 顾客源有限情形 M/M/1/$\infty$/m

​ 这个的差分方程发生了变化，但是还是可以用归纳法求出 $P_n$ 的，因为太繁了，就不写了。
$$\begin{gathered} P_0=\frac{1}{{\sum }_{i=0}^m\frac{m!}{(m-i)!}{\rho }^i} \\ {P}_n=\frac{m!}{(m-n)!}{\rho }^n{P}_0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} L=m-\frac{\mu }{\lambda }(1-P_0) \\ {L}_q=L_s-(1-P_0) \\ W=\frac{m}{\mu (1-P_0)}-\frac{1}{\lambda } \\ {W}_q=W_s-\frac{1}{\mu } \end{gathered}$$

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四、非生灭过程

4.1 M/D/1/$\infty$/$\infty$

​ 这个在上面已经阐述过了，是没有办法采用微分方程的形式求解差分方程，进而求解 $P_n$ 的，所以只能用P-K公式进行计算，因为是定长的服务，所以方差为0。
$$\begin{gathered} L_q=\frac{{\rho }^2}{2(1-\rho )} \\ L=L_q+\rho \\ {W}_q=\frac{L_q}{\lambda } \\ W=\frac{L}{\lambda } \end{gathered}$$