「数据结构与算法」动态规划学习笔记：简介
动态规划的背景
动态规划（英语：Dynamic programming，简称 DP）是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。
动态规划不是某一种具体的算法，而是一种算法思想：若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再根据子问题的解以得出原问题的解。
应用这种算法思想解决问题的可行性，对子问题与原问题的关系，以及子问题之间的关系这两方面有一些要求，它们分别对应了：
- 最优子结构
- 重复子问题
最优子结构
最优子结构规定的是子问题与原问题的关系。
一个问题的最优解是由它的各个子问题的最优解决定的。
将子问题的解进行组合，可以得到原问题的解是动态规划可行性的关键。在解题中一般用状态转移方程描述这种组合。例如原问题的解为 f(n)，其中 f(n) 也叫状态。状态转移方程 f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) 描述了一种原问题与子问题的组合关系 。
重复子问题
重复子问题规定的是子问题与子问题的关系。
重复子问题不是保证解的正确性必须的，但是如果递归求解子问题时，没有出现重复子问题，则没有必要用动态规划，直接普通的递归就可以了。
例如，斐波那契问题的状态转移方程 f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)。在求 f(5) 时，需要先求子问题 f(4) 和 f(3)，得到结果后再组合成原问题 f(5) 的解。递归地求 f(4) 时，又要先求子问题 f(3) 和 f(2) ，这里的 f(3) 与求 f(5) 时的子问题重复了。
解决动态规划问题的核心
解决动态规划问题的核心：找出子问题及其子问题与原问题的关系：
- 找到了子问题以及子问题与原问题的关系，就可以递归地求解子问题了。（最优子结构）
- 但重叠的子问题使得直接递归会有很多重复计算，于是就想到记忆化递归法：若能事先确定子问题的范围就可以建表存储子问题的答案。（重复子问题）
动态规划算法中关于最优子结构和重复子问题的理解的关键点：
- 证明问题的方案中包含一种选择，选择之后留下一个或多个子问题
- 设计子问题的递归描述方式
- 证明对原问题的最优解包括了对所有子问题的最优解
- 证明子问题是重叠的（这一步不是动态规划正确性必需的，但是如果子问题无重叠，则效率与一般递归是相同的）
动态规划问题的思考过程
举个例子：
LeetCode 300
输入：“10,9,2,5,3,7,101,18”
输出：4
解释：最长的上升子序列是 2,3,7,101，它的长度是4。对于这类问题，首先，需要思考如何将问题规模减小，一些典型的减小方式是动态规划分类的一句，例如线性、区间、树形等。
对于数组类问题，常见的减小问题规模的思路有两种：
- 每次减少一半：如果每次减半，那么原问题变为："10,9,2,5"和"3,7,101,18"，两个问题的最优解分别为"2,5"和"3,7,101"，但是找不到好的组合方式将两个子问题最优解组合为原问题最优解 "2,5,7,101"。
- 每次减少一个：记 f(n) 为以第 n 个数结尾的最长子序列，每次减少一个，将原问题分为 f(n-1), f(n-2), ..., f(1)，共 n - 1个子问题：
n = 8：10,9,2,5,3,7,101,18 -->2,3,7,18
n = 7：10,9,2,5,3,7,101 -->2,3,7,101
n = 6：10,9,2,5,3,7 --2,3,7
n = 5：10,9,2,5,3 -->2,3
n = 4：10,9,2,5 --> 2,5
n = 3：10,9,2 --> 2
n = 2：10,9 --> 9
n = 1：10 --> 10
已经有 7 个子问题的最优解之后，可以发现一种组合方式得到原问题的最优解：f(6) 的结果 [2,3,7] 且末尾数 7 小于 18，同时长度也是 f(1)~f(7) 中，结尾小于 18 的结果中最长的。f(7) 虽然长度为 4 比 f(6) 长，但结尾是不小于 18 的，无法组合成原问题的解。
以上组合方式可以写成一个式子，即状态转移方程：
f(n) = max f(i) + 1
其中 i < n 且 a[i] < a[n]这种思考如何通过 f(1)...f(n-1)f(1)...f(n−1) 求出 f(n)f(n) 的过程实际就是在思考状态转移方程怎么写。
总结： 解决动态规划问题最难的地方有两点：
- 如何定义 f(n)
- 如何通过 f(1), f(2), … f(n - 1) 推导出 f(n)，即状态转移方程
动态规划对比分治和贪心
分治
解决分治问题的时候，思路就是想办法把问题的规模减小，有时候减小一个，有时候减小一半，然后将每个小问题的解以及当前的情况组合起来得出最终的结果。例如归并排序和快速排序，归并排序将要排序的数组平均地分成两半，快速排序将数组随机地分成两半。然后不断地对它们递归地进行处理。
这里存在有最优的子结构，即原数组的排序结果是在子数组排序的结果上组合出来的，但是不存在重复子问题，因为不断地对待排序的数组进行对半分的时候，两半边的数据并不重叠，分别解决左半边和右半边的两个子问题的时候，没有子问题重复出现，这是动态规划和分治的区别。
贪心
关于最优子结构：
- 贪心：每一步的最优解一定包含上一步的最优解，上一步之前的最优解无需记录
- 动态规划：全局最优解中一定包含某个局部最优解，但不一定包含上一步的局部最优解，因此需要记录之前的所有的局部最优解
关于子问题最优解组合成原问题最优解的组合方式：
- 贪心：如果把所有的子问题看成一棵树的话，贪心从根出发，每次向下遍历最优子树即可，这里的最优是贪心意义上的最优。此时不需要知道一个节点的所有子树情况，于是构不成一棵完整的树
- 动态规划：动态规划需要对每一个子树求最优解，直至下面的每一个叶子的值，最后得到一棵完整的树，在所有子树都得到最优解后，将他们组合成答案
结果正确性：
- 贪心不能保证求得的最后解是最佳的，复杂度低
- 动态规划本质是穷举法，可以保证结果是最佳的，复杂度高