雷达测角算法（一）------比相单脉冲

在阵列信号处理中，波束形成以及空间谱估计是两个非常重要的分支。波达方向角估计作为雷达四维，即距离、速度、方向、俯仰，中的一维，在雷达信号处理中也有着重要的地位。现在，就方向角的估计，简单介绍一系列常用算法，作为自己过去一段时间的总结回顾。

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比相单脉冲：

比相单脉冲，正如其名，该算法需要利用相位信息进行测角。我们先假设一个实际环境，现在有两根天线阵元，阵元间距记为$d$，有一远场源目标从方向角$\theta$($\theta$为目标照射到天线的方向与天线阵元法线的夹角)照射到天线阵元上，由下图可以看到天线阵元与目标的位置关系，

正如之前的假设，目标为远场源，因此入射波可看作平面波（若是近场源，则要看做球面波，这里不予考虑）。由上图可以看到，相邻的阵元由于与目标的距离不同，因此存在一段距离差$$\Delta R=dsin\theta$$这段距离差导致两根天线接收的信号存在相位差（相位差由时间差引起），我们记为$\varphi$ ,由此可得到相位差$\varphi$与方向角$\theta$的关系$$\varphi =\frac{2\pi dsin\theta }{\lambda }$$因此求出相位差即可得到角度
$$\theta =arcsin(\frac{\varphi \lambda }{2\pi d})$$
但是直接利用相位差$\varphi$来求方位角的性能较差。
这里可以用和差通道的方法来提高方法的性能。下图为和差通道法的示意图，

我们可以很容易的写出$S_1$与$S_2$的关系
$$S_1=S_2{e}^{-j\varphi }$$
将上式代入和差表达式中
$$\Delta =S_2(1-e^{-j\varphi })$$
$$\Sigma =S_2(1+e^{-j\varphi })$$
则相位误差可以转为由和差通道表示
$$\frac{\Delta }{\Sigma }=\frac{1-e^{-j\varphi }}{1+e^{-j\varphi }}=jtan(\frac{\varphi }{2})$$
取其模值，则最终可以得到
$$|\frac{\Delta }{\Sigma }|=tan(\frac{\varphi }{2})=tan(\frac{\pi dsin\theta }{\lambda })$$
比相法就工程实现上来说十分简单，但也有其缺点，若遇到两个同频同相的目标，比相法便无法区分。

阵元间距：

我们在设置阵元间距时，一般会设置为半波长，即$\frac{\lambda }{2}$。这是基于我们希望测角范围可以达到$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$而提出的。由公式$\theta =arcsin(\frac{\varphi \lambda }{2\pi d})$,我们可以知道，$\theta$变化范围是$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$时，$\frac{\varphi \lambda }{2\pi d}$变化范围是$[-1,1]$，而$\varphi$的变化范围是$[-\pi ,\pi ]$，因此可以很容易的求得$d=\frac{\lambda }{2}$。

当然，实际上即使我们将阵元间距设为$\frac{\lambda }{2}$,在测角时，也不会将范围设置在$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$。这是由于测角精度的限制。现在进行简单的说明。

3dB的波束宽度可由下式表示
$${\theta }_{3dB}=\frac{1}{cos{\theta }_B}\frac{0.88\lambda }{Nd}$$
其中，$\lambda$为波长，$N$为阵元数，$d$为阵元间距，${\theta }_B$为波束指向与天线轴的夹角。由上述表达式可以看出，天线孔径$Nd$越大，波束宽度越窄，角度分辨率越好。同时，当${\theta }_B$为0°时，波束宽度最窄，当波束指向60°时，波束宽度已变成0°时的两倍，因此，为了确保测量精度，即使阵元间距为半波长，测角范围一般也会选择[-60° ，60°]。

同时，我们需要注意，当阵元间距大于半波长时，会出现栅瓣的影响。如下图所示，栅瓣会影响目标检测，使得测角范围变窄

但是，这并不意味着阵元间距不能大于半波长。事实上，现在越来越多的稀疏阵列已经运用到工程中。稀疏阵列的阵元间距大于半波长，并按特定排列方式，构成如冗余阵列、互质阵列、嵌套阵列等典型的稀疏阵列，以牺牲测角范围为代价，极大提高了测角精度。