线性代数本质理解

主要参考这个链接:https://www.bilibili.com/video/av6500834?from=search&seid=3249893627908257126对应的一系列学习视频

主要收获:

1、向量点积、线性变换和投影后两个向量长度相乘的本质联系。

2、矩阵的秩代表线性变换后的维度。

3、矩阵的行列式值等于矩阵变换后(维度不变)空间压缩的比例。其正负与x y轴的相对位置有关。

4、有两个坐标系,一个是正常的x y轴坐标系N(1,0;0,1),另一个是变换后的坐标系,如A(3,1;1,2),

一个在A坐标系中的向量x,对应在N坐标系中的表示为Ax。对N坐标系中的某个向量进行矩阵为B的线性变换,

作用到x上的结果是什么?答案是:将B作用到Ax上,然后再逆变换到A坐标系中。即A-1BAx。因此,形如A-1BA

格式的矩阵乘法其表示的含义为:将原空间中的线性变换B作用到A空间中的向量的结果。

5、一个矩阵的特征向量是指,矩阵对应的线性变换在对空间进行拉伸、旋转等操作后,其方向保持不变的向量,

可以想象对一个二维平面进行拉伸,如(2,1;0,2),即原始的基向量(1,0)对应到了(2,0),即横向拉伸了

两倍,因此所有横向的向量其方向没变,它就是特征向量。而另外一个方向的拉伸则是(0,1)对应到了(1,2),

此时也可能恰好存在在两种拉伸作用下,恰好保持方向不变的向量,它也是特征向量。

6、一个矩阵的特征值:特征向量在矩阵线性变换下对应的拉伸或压缩程度。

7、计算一个矩阵n次幂较简单的一种方法,如A矩阵的n次幂:变到另外一个坐标系中进行计算。

矩阵A可能对应于一个空间的拉伸、旋转,如A(3,1;1,2),求n次幂计算量大,较为麻烦,如果能想办法找到一个替代的只有对角线上的数不为0就好计算了,这样结果就是对角线上数的n次幂了。这里矩阵A如果有两个不同的特征向量,那么就可以以这两个特征向量B为新的坐标系,在此坐标系下,A空间变换就只是拉伸与压缩,即其线性变换矩阵只有对角线元素不为0。

假设A作用于x,x在B下的表示为B-1x=y,那么结合4的结论,y在A的作用下新空间下的表示为B-1ABy。由于在新坐标系下,A空间变换只是拉伸与压缩,所以B-1AB只有对角线元素不为0。

直观上理解:n次以A作用于x,相当于将x转换为B坐标系下得到y,然后将A作用于y,即B-1AB,n次后再转换为正常坐标系的结果。即A的n次幂作用于x等于B*(B-1AB)*(B-1AB)...(B-1AB)*B-1作用于x。

 

 

 

 

 

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