R语言中的参数估计
R语言中的参数估计
一直想要写博客来着，一直没有实现，昨天看室友写了，借着复习R语言考试，来开启我的第一篇博客叭！
以下我将从点估计、区间估计来介绍区间估计，本文主要介绍R代码，具体的统计知识，详情可参考相关数理统计的专业书嗷
参数估计
- R语言中的参数估计
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- 点估计
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- 距估计
- 极大似然估计
- 区间估计
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- 均值 μ \mu μ的估计
- 两样本方差比的估计
点估计
点估计分为距估计和极大似然估计法。
简而言之，距估计就是用样本的一阶原点矩即样本的均值去估计均值，用样本的二阶中心距即样本方差估计方差。
极大似然估计就是求似然函数的极大值点啦，口说不如实战，下面让我们一起看看一道习题叭，是薛毅版的统计建模与R语言中第四章的习题。
距估计
首先求出该函数的期望
E ( x ) = ∫ 0 1 ( α + 1 ) x α + 1 d x E\left(x\right)=\int_{0}^{1}{(\alpha+1)x^{\alpha+1}dx} E(x)=∫01(α+1)xα+1dx
求得 E ( x ) = α + 1 α + 2 E\left(x\right)=\frac{\alpha+1}{\alpha+2} E(x)=α+2α+1,然后用样本期望表示待估参数
则有 α = 2 E ( x ) − 1 1 − E ( x ) \alpha=\frac{2E\left(x\right)-1}{1-E(x)} α=1−E(x)2E(x)−1
接着就上R代码啦
> x=c(0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7)
> a=(2*mean(x)-1)/(1-mean(x))
> a
[1] 0.3076923
这样我们就完成了距估计，nice！
极大似然估计
L ( α ; x ) = ∏ i = 1 6 ( α + 1 ) x i α = ( α + 1 ) 6 ∏ i = 1 6 x i α L\left(\alpha;x\right)=\prod_{i=1}^{6}{\left(\alpha+1\right){x_i}^\alpha={(\alpha+1)}^6\prod_{i=1}^{6}{x_i}^\alpha} L(α;x)=∏i=16(α+1)xiα=(α+1)6∏i=16xiα
取对数为
l n L ( α ; x ) = 6 l n ( α + 1 ) + α l n ∑ i = 1 6 x i lnL\left(\alpha;x\right)=6ln\left(\alpha+1\right)+\alpha ln\sum_{i=1}^{6}x_i lnL(α;x)=6ln(α+1)+αln∑i=16xi
接着对其求偏导有：
∂ l n L ( α ; x ) ∂ α = 6 α + 1 + ∑ i = 1 6 l n x i \frac{\partial lnL\left(\alpha;x\right)}{\partial\alpha}=\frac{6}{\alpha+1}+\sum_{i=1}^{6}{lnx_i} ∂α∂lnL(α;x)=α+16+∑i=16lnxi
接着输入R程序脚本，使用uniroot函数对 α \alpha α估计求解
> x=c(0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7)
> f=function(a)
+ {
+ 6/(a+1)+sum(log(x))
+ }
> uniroot(f,c(0,1))
$root
[1] 0.211182
$f.root #极大似然估计得到的数值解根
[1] -3.844668e-05
$iter
[1] 5
$init.it
[1] NA
$estim.prec
[1] 6.103516e-05
这样极大似然估计也做完啦
区间估计
均值 μ \mu μ的估计
分为方差已知和方差未知两种情况
> interval_estimate1=function(x,sigma=-1,alpha=0.5){
+ n=length(x);xb=mean(x)
+ if (sigma>=0){
#sigma已知用正态分布的u检验
+ tmp=sigma/sqrt(n)*qnorm(1-alpha/2);df=n
+ }
+ else{
#sigma未知t检验
+ tmp=sd(x)/sqrt(n)*qt(1-alpha/2,n-1);df=n-1
+ }
+ data.frame(mean=xb,df=df,a=xb-tmp,b=xb+tmp) #最后以数据框的形式输出
+ }
> x=c(14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1)
> interval_estimate1(x,0.2) #已知sigma为0.2
mean df a b
1 14.95 6 14.89493 15.00507
> interval_estimate1(x) #sigma未知
mean df a b
1 14.95 5 14.883 15.017
通过以上结果可以看出方差已知时的区间更小，更为精确，但是在生活中几乎是都不知道了啦。
上面的代码是将整个过程都运行了一遍，实际上R中有内置函数
t.test()
利用该函数可以得到相同的区间估计，是很方便了。
接着我们看一下配对数据的均值差如何使用这个函数叭
> x=c(11.3,15.0,15.0,13.5,12.8,10.0,11.0,12,13,12.3)
> y=c(14,13.8,14,13.5,13.5,12,14.7,11.4,13.8,12)
> t.test(x-y)
One Sample t-test
data: x - y
t = -1.3066, df = 9, p-value = 0.2237
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-1.8572881 0.4972881
sample estimates:
mean of x
-0.68
是不是很简单啊哈哈哈哈，有内置函数就很香了。
t.tes()的作用是和均值挂钩的，和方差估计无关嗷，不要搞混了。
两样本方差比的估计
那么下一个内置函数var.test（）
该函数可提供双样本方差比的区间估计
好的来试一下
> x=c(11.3,15.0,15.0,13.5,12.8,10.0,11.0,12,13,12.3)
> y=c(14,13.8,14,13.5,13.5,12,14.7,11.4,13.8,12)
> var.test(x,y)
F test to compare two variances
data: x and y
F = 2.2844, num df = 9, denom df = 9, p-value = 0.2343
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
0.5674248 9.1971787
sample estimates:
ratio of variances
2.284449
哈哈哈哈差不多就到这里叭…
新手上路，有很多不懂的地方，希望能给大家带来些许帮助，也欢迎大家批评指正喔！饿了饿了，干饭人冲了！