统计学习知识系列1——相关系数

杂谈

最近在看complex networks,震惊于人家的综述100多页，能有将近300个公式，反观DL,ML，不得不说，DL真香哈哈哈。因为文章太难，公式看不懂，所以来学点统计学知识。

先验知识

在讲相关系数前，可以先再回顾一下协方差，我自己貌似也没很认真的学过协方差。统计学与质量051 - 相关性 - 自变量与因变量 协方差(Covariance)看完这个视频后我又产生了一个新的问题，那就是为啥方差的分母是n-1。

为什么方差的分母是n-1？

为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？，个人非常喜欢张英锋答主和马同学的回答，这里建议先看张英锋答主的，他的回答真的非常友好，像我这种渣渣都能完全明白，本节是对参考文献的理解而写的。
首先知道方差的公式如下：
$${\sigma }^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-u{)}^2}{n}$$注意：这里的${\sigma }^2$是全体的方差，$u$是全体的均值，$n$是全体变量的数量，而实际情况中不可能所有的样本都进行检验，因此就有了通过随机采样得到的样本方差。
$$s^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\hat{x}{)}^2}{n-1}$$这里我不会打均值所以用$\hat{x}$来代替了，显然${\sigma }^2$和$s^2$有显著的差别，一个是客观事实，另一个则是一种估计。
那么对样本采样要满足相互独立的要求，否则会有偏差，而采样得到的$\{x_1,x_2,x_3,...,x_n\}$由于$\hat{x}$的存在使得其不是完全独立，已知n-1个就能推出最后一个，这也就是为什么样本方差的分母不是n，也不是n-2或n-3，而是n-1的原因。而这个n-1叫做样本的自由度，不觉得很形象吗!
那么为什么自由度减少后会影响样本方差呢？首先方差是通过计算样本和平均值之间的距离，来描述样本的分散程度，数据之间差异越大，方差越大，数据之间越是趋同，方差越小。由于自由度减少了，导致一个样本受到了其他样本的约束，使其和其他数据趋同，减少了差异性，最终导致样本方差减小。此时的
$$s_{biased}^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\hat{x}{)}^2}{n}$$那么样本偏差变小了，那干脆让分母变小，增大样本方差就行了。样本方差$s^2$公式里的分母n-1，就是这么来的，那个减去的1，就是用来校正$\hat{x}$所带来的偏差，他不代表某一个样本，而是对自由度的补偿，让缩小的样本方差重新变大一点。

方差和协方差

方差和协方差的概念

神同步的协方差（正相关）
唱反调的协方差（负相关）

举个栗子
协方差可以很容易的解决方向问题（正相关还是负相关），但是其由于存在量纲问题，如x，y的单位不统一，那这计算就会出现问题，因此引入本文正主：Pearson, Spearman

相关系数

Pearson correlation coefficient

参考：统计学与质量052 - 皮尔逊 (Pearson) 相关系数 & 斯皮尔曼 (Spearman) 相关系数

这里的$S_x$和$S_y$是标准差

取值范围

适用范围

总结：简单来说Pearson correlation coefficient就是将协方差的量纲进行了统一而已.

Spearman correlation coefficient

适用范围
举个栗子

相关强度判定，这里是指绝对值后的数据

总结：Spearman correlation coefficient就是先将样本进行排序，注意这里的排名必须唯一，及不能存在并列第几。得到排名后就是对排名做一次Pearson correlation coefficient即可。

Reference

统计学与质量051 - 相关性 - 自变量与因变量 协方差(Covariance)
为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？
统计学与质量052 - 皮尔逊 (Pearson) 相关系数 & 斯皮尔曼 (Spearman) 相关系数