poj 3744 概率dp+矩阵快速幂

题意：在一条布满地雷的路上，你现在的起点在1处。在N个点处布有地雷，1<=N<=10。地雷点的坐标范围：[1,100000000].

每次前进p的概率前进一步，1-p的概率前进1-p步。问顺利通过这条路的概率。就是不要走到有地雷的地方。

链接：点我

 

设dp[i]表示到达i点的概率，则 初始值 dp[1]=1.

很容易想到转移方程： dp[i]=p*dp[i-1]+(1-p)*dp[i-2];

但是由于坐标的范围很大，直接这样求是不行的，而且当中的某些点还存在地雷。

 

 

N个有地雷的点的坐标为 x[1],x[2],x[3]```````x[N].

我们把道路分成N段：

1~x[1];

x[1]+1~x[2];

x[2]+1~x[3];

`

 

x[N-1]+1~x[N].

 

转移矩阵：
  dp[i]    | p ,1-p  |    dp[i-1]
            =|            |*
dp[i-1]   | 1 , 0    |   dp[i-2]

 

这样每一段只有一个地雷。我们只要求得通过每一段的概率。乘法原理相乘就是答案。

对于每一段，通过该段的概率等于1-踩到该段终点的地雷的概率。

 

就比如第一段 1~x[1].  通过该段其实就相当于是到达x[1]+1点。那么p[x[1]+1]=1-p[x[1]].

但是这个前提是p[1]=1,即起点的概率等于1.对于后面的段我们也是一样的假设，这样就乘起来就是答案了。

 

对于每一段的概率的求法可以通过矩阵乘法快速求出来。

 

 1 #include<cstdio>

 2 #include<iostream>

 3 #include<algorithm>

 4 #include<cstring>

 5 #include<cmath>

 6 #include<queue>

 7 #include<map>

 8 using namespace std;

 9 #define MOD 1000000007

10 const int INF=0x3f3f3f3f;

11 const double eps=1e-5;

12 typedef long long ll;

13 #define cl(a) memset(a,0,sizeof(a))

14 #define ts printf("*****\n");

15 const int MAXN=1005;

16 int n,m,tt,x[MAXN],dp[MAXN];

17 struct Matrix

18 {

19     double mat[2][2];

20 };

21 Matrix mul(Matrix a,Matrix b)

22 {

23     Matrix ret;

24     for(int i=0;i<2;i++)

25       for(int j=0;j<2;j++)

26       {

27           ret.mat[i][j]=0;

28           for(int k=0;k<2;k++)

29             ret.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];

30       }

31     return ret;

32 }

33 Matrix pow_M(Matrix a,int n)

34 {

35     Matrix ret;

36     memset(ret.mat,0,sizeof(ret.mat));

37     for(int i=0;i<2;i++)ret.mat[i][i]=1;

38     Matrix temp=a;

39     while(n)

40     {

41         if(n&1)ret=mul(ret,temp);

42         temp=mul(temp,temp);

43         n>>=1;

44     }

45     return ret;

46 }

47 int main()

48 {

49     int i,j,k;

50     #ifndef ONLINE_JUDGE

51     freopen("1.in","r",stdin);

52     #endif

53     double p;

54     while(scanf("%d%lf",&n,&p)!=EOF)

55     {

56         double ans=1;

57         for(i=0;i<n;i++)    scanf("%d",x+i);

58         sort(x,x+n);

59         Matrix a,b;

60         a.mat[0][0]=p;

61         a.mat[0][1]=1-p;

62         a.mat[1][0]=1;

63         a.mat[1][1]=0;

64         b=pow_M(a,x[0]-1);

65         ans*=(1-b.mat[0][0]);

66         for(i=1;i<n;i++)

67         {

68             if(x[i]==x[i-1])    continue;

69             b=pow_M(a,x[i]-x[i-1]-1);

70             ans*=(1-b.mat[0][0]);

71         }

72         printf("%.7f\n",ans);

73     }

74 }