在上一篇博文《Python中的随机采样和概率分布(一)》中，我们介绍了Python中最简单的随机采样函数。接下来我们更进一步，来看看如何从一个概率分布中采样，我们以几个机器学习中最常用的概率分布为例。
1. 二项（binomial）/伯努利（Bernoulli）分布
1.1 概率质量函数(pmf)
当n=1时，则取到下列极限情况，是为参数为p的二项分布：
二项分布P(X=x; n, p)可以表示进行独立重复试验n次，每次有两成功和失败可能结果（分别对应概率p和1−p），共成功x次的概率。
1.2 函数原型
random.binomial(n, p, size=None)
参数：
n: int or array_like of ints 对应分布函数中的参数 n，>=0，浮点数会被截断为整形。
p: float or array_like of floats 对应分布函数参数p, >=0并且<=1。
size: int or tuple of ints, optional 如果给定形状为(m,n,k)，那么m×n×k个随机样本会从中抽取。默认为None，即返回一个一个标量随机样本。
返回：
out: ndarray or scalar 从带参数的概率分布中采的随机样本，每个样本表示独立重复实验n次中成功的次数。
1.3 使用样例
设进行独立重复实验10次，每次成功概率为0.5，采样样本表示总共的成功次数（相当于扔10次硬币，正面朝上的次数）。总共采20个样本。
import numpy as np n, p = 10, .5 s = np.random.binomial(n, p, 20) print(s) # [4 5 6 5 4 2 4 6 7 2 4 4 2 4 4 7 6 3 5 6]
可以粗略的看到，样本几乎都在5周围上下波动。
我们来看一个有趣的例子。一家公司钻了9口井，每口井成功的概率为0.1，所有井都失败了，发生这种情况的概率是多少？
我们总共采样2000次，来看下产生0结果的概率。
s = sum(np.random.binomial(9, 0.1, 20000) == 0)/20000. print(s) # 0.3823
可见，所有井失败的概率为0.3823，这个概率还是蛮大的。
2. 多项（multinomial）分布
2.1 概率质量函数(pmf)
当k=2时，则取到下列极限情况，是为参数为n, p的二项分布：
也就是说，多项分布式二项分布的推广：仍然是独立重复实验n次，但每次不只有成功和失败两种结果，而是k种可能的结果，每种结果的概率为pi。多项分布是一个随机向量的分布，x=(x1,x2,...,xk)意为第i种结果出现xi次，P(X=x; n, p)也就表示第i种结果出现xi次的概率。
2.2 函数原型
random.multinomial(n, pvals, size=None)
参数：
n: int 对应分布函数中的参数 n。
pvals: sequence of floats 对应分布函数参数p, 其长度等于可能的结果数k，并且有0⩽pi⩽1。
size: int or tuple of ints, optional 为输出形状大小，因为采出的每个样本是一个随机向量，默认最后一维会自动加上k，如果给定形状为(m,n)，那么m×n个维度为k的随机向量会从中抽取。默认为None，即返回一个一个k维的随机向量。
返回：
out: ndarray 从带参数的概率分布中采的随机向量，长度为可能的结果数k，如果没有给定 size，则shape为 (k,)。
2.3 使用样例
设进行独立重复实验20次，每次情况的概率为1/6，采样出的随机向量表示每种情况出现次数（相当于扔20次六面骰子，点数为0, 1, 2, ..., 5出现的次数）。总共采1个样本。
s = np.random.multinomial(20, [1/6.]*6, size=1) print(s) # [[4 2 2 3 5 4]]
当然，如果不指定size，它直接就会返回一个一维向量了
s = np.random.multinomial(20, [1/6.]*6) print(s) # [4 1 4 3 5 3]
如果像进行多次采样，改变 size即可：
s = np.random.multinomial(20, [1/6.]*6, size=(2, 2)) print(s) # [[[4 3 4 2 6 1] # [5 2 1 6 3 3]] # [[5 4 1 1 6 3] # [2 5 2 5 4 2]]]
这个函数在论文[1]的实现代码[2]中用来设置每一个 client分得的样本数：
for cluster_id in range(n_clusters):
weights = np.random.dirichlet(alpha=alpha * np.ones(n_clients))
clients_counts[cluster_id] = np.random.multinomial(clusters_sizes[cluster_id], weights)
# 一共扔clusters_sizes[cluster_id]次筛子，该函数返回骰子落在某个client上各多少次，也就对应着该client应该分得的样本数
3.均匀（uniform）分布
3.1 概率密度函数(pdf)
均匀分布可用于随机地从连续区间[a,b)内进行采样。
3.2 函数原型
random.uniform(low=0.0, high=1.0, size=None)
参数：
low: float or array_like of floats, optional 对应分布函数中的下界参数 a，默认为0。
high: float or array_like of floats 对应分布函数中的下界参数 b，默认为1.0。
size: int or tuple of ints, optional 为输出形状大小，如果给定形状为(m,n,k)，那么m×n×k的样本会从中抽取。默认为None，即返回一个单一标量。
返回：
out: ndarray or scalar 从带参数的均匀分布中采的随机样本
3.3 使用样例
s = np.random.uniform(-1,0,10) print(s) # [-0.9479594 -0.86158902 -0.63754099 -0.0883407 -0.92845644 -0.11148294 # -0.19826197 -0.77396765 -0.26809953 -0.74734785]
4. 狄利克雷(Dirichlet)分布
4.1 概率密度函数(pdf)
4.2 函数原型
random.dirichlet(alpha, size=None)
参数：
alpha: sequence of floats, length k 对应分布函数中的参数向量 α，长度为k。
size: int or tuple of ints, optional 为输出形状大小，因为采出的每个样本是一个随机向量，默认最后一维会自动加上k，如果给定形状为(m,n)，那么m×n个维度为k的随机向量会从中抽取。默认为None，即返回一个一个k维的随机向量。
返回：
out: ndarray 采出的样本，大小为(size,k)。
4.3 使用样例
设α=(10,5,3)(意味着k=3)，size=(2,2)，则采出的样本为2×2个维度为k=3的随机向量。
s = np.random.dirichlet((10, 5, 3), size=(2, 2)) print(s) # [[[0.82327647 0.09820451 0.07851902] # [0.50861077 0.4503409 0.04104833]] # [[0.31843167 0.22436547 0.45720285] # [0.40981943 0.40349597 0.1866846 ]]]
这个函数在论文[1]的实现代码[2]中用来生成符合狄利克雷分布的权重向量
for cluster_id in range(n_clusters):
# 为每个client生成一个权重向量，文章中分布参数alpha每一维都相同
weights = np.random.dirichlet(alpha=alpha * np.ones(n_clients))
clients_counts[cluster_id] = np.random.multinomial(clusters_sizes[cluster_id], weights)
参考文献
[1] Marfoq O, Neglia G, Bellet A, et al. Federated multi-task learning under a mixture of distributions[J]. Advances in Neural Information Processing Systems, 2021, 34.
[2] https://github.com/omarfoq/FedEM
[3] https://www.python.org/
[4] https://numpy.org/
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