【算法设计】第2章 分析基础

增长的记号： O渐近上界，o f比g低阶，Ω渐近下界，ω f比g高阶，Θ渐近紧界

算法效率评价的指标：

算法对计算机资源的使用：

        1.计算资源(时间)

                

         2.存储资源(内存)

                

 计算机资源的计量方法：

设输入数据/问题规模为n。假设算法要用到：

1. (1)m种元运算;
2. (2)每种元运算执行的时间为t1,t2,…,tm；
3. (3)每种元运算执行的次数为e1,e2,…,em；
4. (4)元运算与问题规模的关系：∀ ei (n)，1≤i≤m。

qwl:

问题：

 

 

 算法：

• 算法时间复杂度：针对指定基本运算，计数算法所做运算次数。
• 基本运算：比较，加法，乘法，置指针，交换。
• 输入规模：输入串编码长度。常用下述参数度量：数组元素多少，调度问题的任务个数，图的顶点数与边数。
• 算法基本运算次数 可表为 输入规模的函数。
• 给定问题和基本运算就决定了一个算法类。

输入规模：

 基本运算：
​​​​​​​

 算法的两种时间复杂度：

 

 

若用T(n)表示时间复杂度，则有 时间复杂度 = m种元运算的 执行时间*执行次数  的和

数学基础：

 函数的渐近的界

问题规模：T(n)

渐近态：T'(n)

增长的阶：

描述算法的效率——增长率。

忽略低阶项，保留最高阶项。

忽略常系数。

利用O(n^2)表示插入排序的最坏运行时间。——表示增长率和n^2相同

渐进效率：

•         输入规模非常大
•         忽略低阶项和常系数
•         只考虑最高阶（增长的阶）

定义2.1 设 f 和 g 是定义域为自然数集N上的函数。

(1) 若 ∃ c>0 和 n 0 >0 使得所有 n  ≥ n0   , 有 0 ≤ f(n)  ≤ c*g (n )成立， 则称 f(n) 的渐近上界是 g(n), 记作 : f(n)=Ο(g(n)) 。

(2) 若 ∃ c>0 和 n 0 >0 使得所有的n  ≥ n0   , 有 0 ≤ c*g(n) ≤ f(n) ，则 称 f(n) 的渐近下界是 g(n), 记作 : f(n)=Ω(g(n)) 。

• 描述运行时间的最好情况。---最小，最起码。
• 对所有输入都正确。
  • 
• 可以用来描述问题
  • 如，排序问题的时间复杂性是Ω（n）

(3) 若对于 ∀ c>0 都存在非负整数 n 0 , 使得当 n≥ n 0 时有0 ≤ f(n) < c*g (n) 成立，则称函数 f(n) 当 n 充分大时，比 g(n)低阶，记为 f(n)=o(g(n)) 。

(4) 若 ∀ c>0 都存在 n 0 >0 ，使得当n≥ n0时有0 ≤ c*g (n ) ≤ f(n)  成立，则称函数f(n) 比 g(n) 高阶，记为 f(n)=ω(g(n))。

(5) 若 f(n)=Ο(g(n)) 且 f(n)=Ω(g(n))时，则记 f(n) = Θ(g (n ))， 称g(n)是 f(n) 的渐近的紧的界。 f(n) 与 g(n)同阶。   c 2 g(n)≤f(n)≤c 1 g(n)

【例 2-2】设有函数 f(n)=n** 2 +3n+1，当n足够大时，试证明下述内容：

(1) f(n)=O(n 2 ) 和 f(n)=O(n 3 ) 成立；

(2) f(n)=o(n 2 ) 不成立。

证明：

(1) f(n)=n** 2 +3n+1< n** 2 +3n** 2 +n** 2 =5n** 2 ， 则存在 c=5 使得当 n≥1时， f(n)=O(n** 2 ) 成立。

又因为 5n** 2 ≤5n** 3 ，所以，存在 c=5 使得当 n≥1 时， f(n)=O(n** 3 ) 成立。

(2) 要使 n** 2 +3n+1 2 ， 就要使 1+3/n+1/n 2 <1 ，显然这不成立。

也就是说，找不到一个 n 0 ，当 n≥n 0 且 c为任意小时，使得 f(n)=o(n 2 ) 成立。

定理 2.1( 传递性 ) 设 f 、 g 、 h 是定义域为自然数集合，

如果 f=O(g) 且 g=O(h) ，那么 f=O(h) ；

如果 f=Ω(g) 且 g=Ω(h) ，那么 f=Ω(h) ；

如果 f=Θ(g) 且 g=Θ(h) ，那么 f=Θ(h) 。

定理 2.2 有f=O(h) 和 g=O(h) ，那么 f+g=O(h) 。

 利用极限求函数渐近的界

 

 

 

 

 有用的求和级数及推导方法:

 

 

 基本效率类型