基于Python实现的机器学习算法（线性回归、逻辑回归、BP神经网络、SVM 支持向量机、K-Means 聚类算法、PCA 主成分分析、异常检测）

目录

• 机器学习算法 Python 实现
  • 一、线性回归
    • 1、代价函数
    • 2、梯度下降算法
    • 3、均值归一化
    • 4、最终运行结果
    • 5、使用 scikit-learn 库中的线性模型实现
  • 二、逻辑回归
    • 1、代价函数
    • 2、梯度
    • 3、正则化
    • 4、S 型函数（即）
    • 5、映射为多项式
    • 6、使用的优化方法
    • 7、运行结果
    • 8、使用 scikit-learn 库中的逻辑回归模型实现
  • 逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll
    • 1、随机显示 100 个数字
    • 2、OneVsAll
    • 3、手写数字识别
    • 4、预测
    • 5、运行结果
    • 6、使用 scikit-learn 库中的逻辑回归模型实现
  • 三、BP 神经网络
    • 1、神经网络 model
    • 2、代价函数
    • 3、正则化
    • 4、反向传播 BP
    • 5、BP 可以求梯度的原因
    • 6、梯度检查
    • 7、权重的随机初始化
    • 8、预测
    • 9、输出结果
  • 四、SVM 支持向量机
    • 1、代价函数
    • 2、Large Margin
    • 3、SVM Kernel（核函数）
    • 4、使用中的模型代码
    • 5、运行结果
  • 五、K-Means 聚类算法
    • 1、聚类过程
    • 2、目标函数
    • 3、聚类中心的选择
    • 4、聚类个数 K 的选择
    • 5、应用——图片压缩
    • 6、使用 scikit-learn 库中的线性模型实现聚类
    • 7、运行结果
  • 六、PCA 主成分分析（降维）
    • 1、用处
    • 2、2D–>1D，nD–>kD
    • 3、主成分分析 PCA 与线性回归的区别
    • 4、PCA 降维过程
    • 5、数据恢复
    • 6、主成分个数的选择（即要降的维度）
    • 7、使用建议
    • 8、运行结果
    • 9、使用 scikit-learn 库中的 PCA 实现降维
  • 七、异常检测 Anomaly Detection
    • 1、高斯分布（正态分布）
    • 2、异常检测算法
    • 3、评价的好坏，以及的选取
    • 4、选择使用什么样的 feature（单元高斯分布）
    • 5、多元高斯分布
    • 6、单元和多元高斯分布特点
    • 7、程序运行结果

一、线性回归

• 全部代码

1、代价函数

• 
• 其中：
  
• 下面就是要求出 theta，使代价最小，即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近
• 共有 m 条数据，其中代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方，平方的原因是因为可能有负值，正负可能会抵消
• 前面有系数 2 的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导，2 可以消去
• 实现代码：

# 计算代价函数
def computerCost(X,y,theta):
    m = len(y)
    J = 0
    
    J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J
    return J

• 注意这里的 X 是真实数据前加了一列 1，因为有 theta(0)

2、梯度下降算法

• 代价函数对求偏导得到：
  
• 所以对 theta 的更新可以写为：
  
• 其中为学习速率，控制梯度下降的速度，一般取 0.01,0.03,0.1,0.3…
• 为什么梯度下降可以逐步减小代价函数
• 假设函数 f(x)
• 泰勒展开：f(x+△x)=f(x)+f'(x)*△x+o(△x)
• 令：△x=-α*f'(x) ,即负梯度方向乘以一个很小的步长 α
• 将 △x 代入泰勒展开式中：f(x+x)=f(x)-α*[f'(x)]+o(△x)
• 可以看出，α 是取得很小的正数，[f'(x)] 也是正数，所以可以得出：f(x+△x)<=f(x)
• 所以沿着负梯度放下，函数在减小，多维情况一样。
• 实现代码

# 梯度下降算法
def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters):
    m = len(y)      
    n = len(theta)
    
    temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters)))   # 暂存每次迭代计算的theta，转化为矩阵形式
    
    
    J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值
    
    for i in range(num_iters):  # 遍历迭代次数    
        h = np.dot(X,theta)     # 计算内积，matrix可以直接乘
        temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y)))   #梯度的计算
        theta = temp[:,i]
        J_history[i] = computerCost(X,y,theta)      #调用计算代价函数
        print '.',      
    return theta,J_history  

3、均值归一化

• 目的是使数据都缩放到一个范围内，便于使用梯度下降算法
• 
• 其中 为所有此 feture 数据的平均值
• 可以是最大值-最小值，也可以是这个 feature 对应的数据的标准差
• 实现代码：

# 归一化feature
def featureNormaliza(X):
    X_norm = np.array(X)            #将X转化为numpy数组对象，才可以进行矩阵的运算
    #定义所需变量
    mu = np.zeros((1,X.shape[1]))   
    sigma = np.zeros((1,X.shape[1]))
    
    mu = np.mean(X_norm,0)          # 求每一列的平均值（0指定为列，1代表行）
    sigma = np.std(X_norm,0)        # 求每一列的标准差
    for i in range(X.shape[1]):     # 遍历列
        X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i]  # 归一化
    
    return X_norm,mu,sigma

• 注意预测的时候也需要均值归一化数据

4、最终运行结果

• 代价随迭代次数的变化
  

5、使用 scikit-learn 库中的线性模型实现

• 导入包

from sklearn import linear_model
from sklearn.preprocessing import StandardScaler    #引入缩放的包

• 归一化

    # 归一化操作
    scaler = StandardScaler()   
    scaler.fit(X)
    x_train = scaler.transform(X)
    x_test = scaler.transform(np.array([1650,3]))

• 线性模型拟合

    # 线性模型拟合
    model = linear_model.LinearRegression()
    model.fit(x_train, y)

• 预测

    #预测结果
    result = model.predict(x_test)

---

二、逻辑回归

• 全部代码

1、代价函数

• 可以综合起来为：
  
  其中：
  
• 为什么不用线性回归的代价函数表示，因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数
• 的图像如下，即 y=1 时：
  

可以看出，当趋于 1，y=1,与预测值一致，此时付出的代价 cost 趋于 0，若趋于 0，y=1,此时的代价 cost 值非常大，我们最终的目的是最小化代价值

• 同理的图像如下（y=0)：
  

2、梯度

• 同样对代价函数求偏导：
  
  可以看出与线性回归的偏导数一致
• 推到过程
  

3、正则化

• 目的是为了防止过拟合
• 在代价函数中加上一项
• 注意 j 是重 1 开始的，因为 theta(0)为一个常数项，X 中最前面一列会加上 1 列 1，所以乘积还是 theta(0),feature 没有关系，没有必要正则化
• 正则化后的代价：

# 代价函数
def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda):
    m = len(y)
    J = 0
    
    h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))    # 计算h(z)
    theta1 = initial_theta.copy()           # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0 
    theta1[0] = 0   
    
    temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1)
    J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m   # 正则化的代价方程
    return J

• 正则化后的代价的梯度

# 计算梯度
def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda):
    m = len(y)
    grad = np.zeros((initial_theta.shape[0]))
    
    h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z)
    theta1 = initial_theta.copy()
    theta1[0] = 0

    grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度
    return grad  

4、S 型函数（即)

• 实现代码：

# S型函数    
def sigmoid(z):
    h = np.zeros((len(z),1))    # 初始化，与z的长度一置
    
    h = 1.0/(1.0+np.exp(-z))
    return h

5、映射为多项式

• 因为数据的 feture 可能很少，导致偏差大，所以创造出一些 feture 结合
• eg:映射为 2 次方的形式:
• 实现代码：

# 映射为多项式 
def mapFeature(X1,X2):
    degree = 3;                     # 映射的最高次方
    out = np.ones((X1.shape[0],1))  # 映射后的结果数组（取代X）
    '''
    这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2
    '''
    for i in np.arange(1,degree+1): 
        for j in range(i+1):
            temp = X1**(i-j)*(X2**j)    #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.*
            out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1)))
    return out

6、使用 scipy 的优化方法

• 梯度下降使用 scipy 中 optimize 中的 fmin_bfgs 函数
• 调用 scipy 中的优化算法 fmin_bfgs（拟牛顿法 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
• costFunction 是自己实现的一个求代价的函数，
• initial_theta 表示初始化的值,
• fprime 指定 costFunction 的梯度
• args 是其余测参数，以元组的形式传入，最后会将最小化 costFunction 的 theta 返回

    result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))    

7、运行结果

• data1 决策边界和准确度
  
  
• data2 决策边界和准确度
  
  

8、使用 scikit-learn 库中的逻辑回归模型实现

• 导入包

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cross_validation import train_test_split
import numpy as np

• 划分训练集和测试集

    # 划分为训练集和测试集
    x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2)

• 归一化

    # 归一化
    scaler = StandardScaler()
    scaler.fit(x_train)
    x_train = scaler.fit_transform(x_train)
    x_test = scaler.fit_transform(x_test)

• 逻辑回归

    #逻辑回归
    model = LogisticRegression()
    model.fit(x_train,y_train)

• 预测

    # 预测
    predict = model.predict(x_test)
    right = sum(predict == y_test)
    
    predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1)))   # 将预测值和真实值放在一块，好观察
    print predict
    print ('测试集准确率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0]))          #计算在测试集上的准确度

---

逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll

• 全部代码

1、随机显示 100 个数字

• 我没有使用 scikit-learn 中的数据集，像素是 20*20px，彩色图如下
  
  灰度图：
  
• 实现代码：

# 显示100个数字
def display_data(imgData):
    sum = 0
    '''
    显示100个数（若是一个一个绘制将会非常慢，可以将要画的数字整理好，放到一个矩阵中，显示这个矩阵即可）
    - 初始化一个二维数组
    - 将每行的数据调整成图像的矩阵，放进二维数组
    - 显示即可
    '''
    pad = 1
    display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad)))
    for i in range(10):
        for j in range(10):
            display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F"))    # order=F指定以列优先，在matlab中是这样的，python中需要指定，默认以行
            sum += 1
            
    plt.imshow(display_array,cmap='gray')   #显示灰度图像
    plt.axis('off')
    plt.show()

2、OneVsAll

• 如何利用逻辑回归解决多分类的问题，OneVsAll 就是把当前某一类看成一类，其他所有类别看作一类，这样有成了二分类的问题了
• 如下图，把途中的数据分成三类，先把红色的看成一类，把其他的看作另外一类，进行逻辑回归，然后把蓝色的看成一类，其他的再看成一类，以此类推…
  
• 可以看出大于 2 类的情况下，有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类

3、手写数字识别

• 共有 0-9，10 个数字，需要 10 次分类
• 由于数据集 y 给出的是 0,1,2...9 的数字，而进行逻辑回归需要 0/1 的 label 标记，所以需要对 y 处理
• 说一下数据集，前 500 个是 0,500-1000 是 1,...,所以如下图，处理后的 y，前 500 行的第一列是 1，其余都是 0,500-1000 行第二列是 1，其余都是 0…
  
• 然后调用梯度下降算法求解 theta
• 实现代码：

# 求每个分类的theta，最后返回所有的all_theta    
def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda):
    # 初始化变量
    m,n = X.shape
    all_theta = np.zeros((n+1,num_labels))  # 每一列对应相应分类的theta,共10列
    X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))       # X前补上一列1的偏置bias
    class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
    initial_theta = np.zeros((n+1,1))       # 初始化一个分类的theta
    
    # 映射y
    for i in range(num_labels):
        class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
    
    #np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',')    
    
    '''遍历每个分类，计算对应的theta值'''
    for i in range(num_labels):
        result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法
        all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1)   # 放入all_theta中
        
    all_theta = np.transpose(all_theta) 
    return all_theta

4、预测

• 之前说过，预测的结果是一个概率值，利用学习出来的 theta 代入预测的 S 型函数中，每行的最大值就是是某个数字的最大概率，所在的列号就是预测的数字的真实值,因为在分类时，所有为 0 的将 y 映射在第一列，为 1 的映射在第二列，依次类推
• 实现代码：

# 预测
def predict_oneVsAll(all_theta,X):
    m = X.shape[0]
    num_labels = all_theta.shape[0]
    p = np.zeros((m,1))
    X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))   #在X最前面加一列1
    
    h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta)))  #预测

    '''
    返回h中每一行最大值所在的列号
    - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
    - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
    '''
    p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0]))  
    for i in np.arange(1, m):
        t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i]))
        p = np.vstack((p,t))
    return p

5、运行结果

• 10 次分类，在训练集上的准确度：
  

6、使用 scikit-learn 库中的逻辑回归模型实现

• 1、导入包

from scipy import io as spio
import numpy as np
from sklearn import svm
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

• 2、加载数据

    data = loadmat_data("data_digits.mat") 
    X = data['X']   # 获取X数据，每一行对应一个数字20x20px
    y = data['y']   # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1)
    y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)

• 3、拟合模型

    model = LogisticRegression()
    model.fit(X, y) # 拟合

• 4、预测

    predict = model.predict(X) #预测
    
    print u"预测准确度为：%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100)

• 5、输出结果（在训练集上的准确度）
  

三、BP 神经网络

• 全部代码

1、神经网络 model

• 先介绍个三层的神经网络，如下图所示
• 输入层（input layer）有三个 units（为补上的 bias，通常设为 1)
• 表示第 j 层的第 i 个激励，也称为为单元 unit
• 为第 j 层到第 j+1 层映射的权重矩阵，就是每条边的权重
  
• 所以可以得到：
• 隐含层：
  
• 输出层
  其中，S 型函数，也成为激励函数
• 可以看出 为 3x4 的矩阵，为 1x4 的矩阵
• ==》j+1 的单元数 x（j 层的单元数 +1)

2、代价函数

• 假设最后输出的，即代表输出层有 K 个单元
• 其中，代表第 i 个单元输出
• 与逻辑回归的代价函数差不多，就是累加上每个输出（共有 K 个输出)

3、正则化

• L–> 所有层的个数
• –> 第 l 层 unit 的个数
• 正则化后的代价函数为
  
• 共有 L-1 层，
• 然后是累加对应每一层的 theta 矩阵，注意不包含加上偏置项对应的 theta(0)
• 正则化后的代价函数实现代码：

# 代价函数
def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
    length = nn_params.shape[0] # theta的中长度
    # 还原theta1和theta2
    Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
    Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
    
    # np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',')
    
    m = X.shape[0]
    class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
    # 映射y
    for i in range(num_labels):
        class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
     
    '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''    
    Theta1_colCount = Theta1.shape[1]    
    Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
    Theta2_colCount = Theta2.shape[1]    
    Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
    # 正则化向theta^2
    term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))
    
    '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''
    a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))      
    z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))    
    a2 = sigmoid(z2)
    a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
    z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
    h  = sigmoid(z3)    
    '''代价'''    
    J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m   
    
    return np.ravel(J)

4、反向传播 BP

• 上面正向传播可以计算得到 J(θ),使用梯度下降法还需要求它的梯度
• BP 反向传播的目的就是求代价函数的梯度
• 假设 4 层的神经网络,记为–>l 层第 j 个单元的误差
• 
• 没有，因为对于输入没有误差
• 
• 反向传播计算梯度的过程为：
• 
• 
• 最后，即得到代价函数的梯度
• 实现代码：

# 梯度
def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
    length = nn_params.shape[0]
    Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1).copy()   # 这里使用copy函数，否则下面修改Theta的值，nn_params也会一起修改
    Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1).copy()
    m = X.shape[0]
    class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系    
    # 映射y
    for i in range(num_labels):
        class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
     
    '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
    Theta1_colCount = Theta1.shape[1]    
    Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
    Theta2_colCount = Theta2.shape[1]    
    Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
    
    Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape))  #第一层到第二层的权重
    Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape))  #第二层到第三层的权重
      
   
    '''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias'''
    a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
    z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
    a2 = sigmoid(z2)
    a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
    z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
    h  = sigmoid(z3)
    
    
    '''反向传播，delta为误差，'''
    delta3 = np.zeros((m,num_labels))
    delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))
    for i in range(m):
        #delta3[i,:] = (h[i,:]-class_y[i,:])*sigmoidGradient(z3[i,:])  # 均方误差的误差率
        delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:]                              # 交叉熵误差率
        Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))
        delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])
        Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))
    
    Theta1[:,0] = 0
    Theta2[:,0] = 0          
    '''梯度'''
    grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m
    return np.ravel(grad)

5、BP 可以求梯度的原因

• 实际是利用了 链式求导 法则
• 因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算
• 大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的 y 非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。
  
• 求误差更详细的推导过程：
  

6、梯度检查

• 检查利用 BP 求的梯度是否正确
• 利用导数的定义验证：
  
• 求出来的数值梯度应该与 BP 求出的梯度非常接近
• 验证 BP 正确后就不需要再执行验证梯度的算法了
• 实现代码：

# 检验梯度是否计算正确
# 检验梯度是否计算正确
def checkGradient(Lambda = 0):
    '''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了'''
    input_layer_size = 3
    hidden_layer_size = 5
    num_labels = 3
    m = 5
    initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size); 
    initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)
    X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)
    y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y
    
    y = y.reshape(-1,1)
    nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1)))  #展开theta 
    '''BP求出梯度'''
    grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size, 
                     num_labels, X, y, Lambda)  
    '''使用数值法计算梯度'''
    num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))
    step = np.zeros((nn_params.shape[0]))
    e = 1e-4
    for i in range(nn_params.shape[0]):
        step[i] = e
        loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, 
                              num_labels, X, y, 
                              Lambda)
        loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, 
                              num_labels, X, y, 
                              Lambda)
        num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)
        step[i]=0
    # 显示两列比较
    res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))
    print res

7、权重的随机初始化

• 神经网络不能像逻辑回归那样初始化 theta 为 0,因为若是每条边的权重都为 0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。
• 所以应该初始化为接近 0 的数
• 实现代码

# 随机初始化权重theta
def randInitializeWeights(L_in,L_out):
    W = np.zeros((L_out,1+L_in))    # 对应theta的权重
    epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5
    W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵
    return W

8、预测

• 正向传播预测结果
• 实现代码

# 预测
def predict(Theta1,Theta2,X):
    m = X.shape[0]
    num_labels = Theta2.shape[0]
    #p = np.zeros((m,1))
    '''正向传播，预测结果'''
    X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
    h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))
    h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))
    h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))
    
    '''
    返回h中每一行最大值所在的列号
    - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
    - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
    '''
    #np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',')
    p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))  
    for i in np.arange(1, m):
        t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))
        p = np.vstack((p,t))
    return p 

9、输出结果

• 梯度检查：
  
• 随机显示 100 个手写数字
  
• 显示 theta1 权重
  
• 训练集预测准确度
  
• 归一化后训练集预测准确度
  

四、SVM 支持向量机

1、代价函数

• 在逻辑回归中，我们的代价为：
  
• 如图所示，如果 y=1，cost 代价函数如图所示
  
  
• 当 y=0 时同样，用代替
  
• 最终得到的代价函数为：
  最后我们想要
• 之前我们逻辑回归中的代价函数为：
  可以认为这里的，只是表达形式问题，这里 C 的值越大，SVM 的决策边界的 margin 也越大，下面会说明

2、Large Margin

• 如下图所示,SVM 分类会使用最大的 margin 将其分开
  
• 先说一下向量内积
• 
• 
• 向量V 在 向量u 上的投影的长度记为 p，则：向量内积：
  
  
  根据向量夹角公式推导一下即可，
• 前面说过，当 C 越大时，margin 也就越大，我们的目的是最小化代价函数 J(θ),当 margin 最大时，C 的乘积项要很小，所以近似为：
  ，
  我们最后的目的就是求使代价最小的 θ
• 由
  可以得到：
  ，p 即为 x 在 θ 上的投影
• 如下图所示，假设决策边界如图，找其中的一个点，到 θ 上的投影为 p,则或者，若是 p 很小，则需要很大，最后求的是 large margin
  

3、SVM Kernel（核函数）

• 
• 假设如图几个点，

令

• 高斯核函数的 σ 越小，f 下降的越快
  
  
• 
• 最小化 J 求出 θ，
  
• 如果，==》预测 y=1

4、使用 scikit-learn 中的 SVM 模型代码

• 全部代码
• 线性可分的,指定核函数为 linear：

    '''data1——线性分类'''
    data1 = spio.loadmat('data1.mat')
    X = data1['X']
    y = data1['y']
    y = np.ravel(y)
    plot_data(X,y)
    
    model = svm.SVC(C=1.0,kernel='linear').fit(X,y) # 指定核函数为线性核函数

• 非线性可分的，默认核函数为 rbf

    '''data2——非线性分类'''
    data2 = spio.loadmat('data2.mat')
    X = data2['X']
    y = data2['y']
    y = np.ravel(y)
    plt = plot_data(X,y)
    plt.show()
    
    model = svm.SVC(gamma=100).fit(X,y)     # gamma为核函数的系数，值越大拟合的越好

5、运行结果

• 线性可分的决策边界：
  
• 线性不可分的决策边界：
  

---

五、K-Means 聚类算法

• 全部代码

1、聚类过程

• 聚类属于无监督学习，不知道 y 的标记分为 K 类

• K-Means 算法分为两个步骤

• 第一步：簇分配，随机选 K 个点作为中心，计算到这 K 个点的距离，分为 K 个簇

• 第二步：移动聚类中心：重新计算每个簇的中心，移动中心，重复以上步骤。

• 如下图所示：

• 随机分配的聚类中心

  

• 重新计算聚类中心，移动一次
  

• 最后 10 步之后的聚类中心
  

• 计算每条数据到哪个中心最近实现代码：

# 找到每条数据距离哪个类中心最近    
def findClosestCentroids(X,initial_centroids):
    m = X.shape[0]                  # 数据条数
    K = initial_centroids.shape[0]  # 类的总数
    dis = np.zeros((m,K))           # 存储计算每个点分别到K个类的距离
    idx = np.zeros((m,1))           # 要返回的每条数据属于哪个类
    
    '''计算每个点到每个类中心的距离'''
    for i in range(m):
        for j in range(K):
            dis[i,j] = np.dot((X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(1,-1),(X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(-1,1))
    
    '''返回dis每一行的最小值对应的列号，即为对应的类别
    - np.min(dis, axis=1)返回每一行的最小值
    - np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) 返回对应最小值的坐标
     - 注意：可能最小值对应的坐标有多个，where都会找出来，所以返回时返回前m个需要的即可（因为对于多个最小值，属于哪个类别都可以）
    '''  
    dummy,idx = np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1))
    return idx[0:dis.shape[0]]  # 注意截取一下

• 计算类中心实现代码：

# 计算类中心
def computerCentroids(X,idx,K):
    n = X.shape[1]
    centroids = np.zeros((K,n))
    for i in range(K):
        centroids[i,:] = np.mean(X[np.ravel(idx==i),:], axis=0).reshape(1,-1)   # 索引要是一维的,axis=0为每一列，idx==i一次找出属于哪一类的，然后计算均值
    return centroids

2、目标函数

• 也叫做失真代价函数
• 
• 最后我们想得到：
  
• 其中表示第 i 条数据距离哪个类中心最近，
• 其中即为聚类的中心

3、聚类中心的选择

• 随机初始化，从给定的数据中随机抽取 K 个作为聚类中心
• 随机一次的结果可能不好，可以随机多次，最后取使代价函数最小的作为中心
• 实现代码：(这里随机一次)

# 初始化类中心--随机取K个点作为聚类中心
def kMeansInitCentroids(X,K):
    m = X.shape[0]
    m_arr = np.arange(0,m)      # 生成0-m-1
    centroids = np.zeros((K,X.shape[1]))
    np.random.shuffle(m_arr)    # 打乱m_arr顺序    
    rand_indices = m_arr[:K]    # 取前K个
    centroids = X[rand_indices,:]
    return centroids

4、聚类个数 K 的选择

• 聚类是不知道 y 的 label 的，所以不知道真正的聚类个数
• 肘部法则（Elbow method）
• 作代价函数 J 和 K 的图，若是出现一个拐点，如下图所示，K 就取拐点处的值，下图此时 K=3
  
• 若是很平滑就不明确，人为选择。
• 第二种就是人为观察选择

5、应用——图片压缩

• 将图片的像素分为若干类，然后用这个类代替原来的像素值
• 执行聚类的算法代码：

# 聚类算法
def runKMeans(X,initial_centroids,max_iters,plot_process):
    m,n = X.shape                   # 数据条数和维度
    K = initial_centroids.shape[0]  # 类数
    centroids = initial_centroids   # 记录当前类中心
    previous_centroids = centroids  # 记录上一次类中心
    idx = np.zeros((m,1))           # 每条数据属于哪个类
    
    for i in range(max_iters):      # 迭代次数
        print u'迭代计算次数：%d'%(i+1)
        idx = findClosestCentroids(X, centroids)
        if plot_process:    # 如果绘制图像
            plt = plotProcessKMeans(X,centroids,previous_centroids) # 画聚类中心的移动过程
            previous_centroids = centroids  # 重置
        centroids = computerCentroids(X, idx, K)    # 重新计算类中心
    if plot_process:    # 显示最终的绘制结果
        plt.show()
    return centroids,idx    # 返回聚类中心和数据属于哪个类

6、使用 scikit-learn 库中的线性模型实现聚类

• 导入包

    from sklearn.cluster import KMeans

• 使用模型拟合数据

    model = KMeans(n_clusters=3).fit(X) # n_clusters指定3类，拟合数据

• 聚类中心

    centroids = model.cluster_centers_  # 聚类中心

7、运行结果

• 二维数据类中心的移动
  
• 图片压缩
  

六、PCA 主成分分析（降维）

• 全部代码

1、用处

• 数据压缩（Data Compression）,使程序运行更快
• 可视化数据，例如 3D-->2D 等
• …

2、2D–>1D，nD–>kD

• 如下图所示，所有数据点可以投影到一条直线，是投影距离的平方和（投影误差）最小
  
• 注意数据需要 归一化 处理
• 思路是找 1 个 向量u,所有数据投影到上面使投影距离最小
• 那么 nD-->kD 就是找 k 个向量，所有数据投影到上面使投影误差最小
• eg:3D–>2D,2 个向量就代表一个平面了，所有点投影到这个平面的投影误差最小即可

3、主成分分析 PCA 与线性回归的区别

• 线性回归是找 x 与 y 的关系，然后用于预测 y
• PCA 是找一个投影面，最小化 data 到这个投影面的投影误差

4、PCA 降维过程

• 数据预处理（均值归一化）
• 就是减去对应 feature 的均值，然后除以对应特征的标准差（也可以是最大值-最小值）
• 实现代码：

    # 归一化数据
   def featureNormalize(X):
       '''（每一个数据-当前列的均值）/当前列的标准差'''
       n = X.shape[1]
       mu = np.zeros((1,n));
       sigma = np.zeros((1,n))
       
       mu = np.mean(X,axis=0)
       sigma = np.std(X,axis=0)
       for i in range(n):
           X[:,i] = (X[:,i]-mu[i])/sigma[i]
       return X,mu,sigma

• 注意这里的 Σ 和求和符号不同
• 协方差矩阵 对称正定（不理解正定的看看线代）
• 大小为 nxn,n 为 feature 的维度
• 实现代码：

Sigma = np.dot(np.transpose(X_norm),X_norm)/m  # 求Sigma

• 计算 Σ 的特征值和特征向量
• 可以是用 svd 奇异值分解函数：U,S,V = svd(Σ)
• 返回的是与 Σ 同样大小的对角阵 S（由 Σ 的特征值组成）[注意：matlab 中函数返回的是对角阵，在 python 中返回的是一个向量，节省空间]
• 还有两个酉矩阵 U 和 V
• 
• 注意：svd 函数求出的 S 是按特征值降序排列的，若不是使用 svd,需要按特征值大小重新排列 U
• 降维
• 选取 U 中的前 K 列（假设要降为 K 维）
• 
• Z 就是对应降维之后的数据
• 实现代码：

    # 映射数据
   def projectData(X_norm,U,K):
       Z = np.zeros((X_norm.shape[0],K))
       
       U_reduce = U[:,0:K]          # 取前K个
       Z = np.dot(X_norm,U_reduce) 
       return Z

• 过程总结：
• Sigma = X'*X/m
• U,S,V = svd(Sigma)
• Ureduce = U[:,0:k]
• Z = Ureduce'*x

5、数据恢复

• 实现代码：

    # 恢复数据 
    def recoverData(Z,U,K):
        X_rec = np.zeros((Z.shape[0],U.shape[0]))
        U_recude = U[:,0:K]
        X_rec = np.dot(Z,np.transpose(U_recude))  # 还原数据（近似）
        return X_rec

6、主成分个数的选择（即要降的维度）

• 如何选择
• 误差率一般取 1%，5%，10% 等
• 如何实现
• 若是一个个试的话代价太大
• 可以一点点增加 K 尝试。

7、使用建议

• 不要使用 PCA 去解决过拟合问题 Overfitting，还是使用正则化的方法（如果保留了很高的差异性还是可以的）
• 只有在原数据上有好的结果，但是运行很慢，才考虑使用 PCA

8、运行结果

• 2 维数据降为 1 维

• 要投影的方向
  

• 2D 降为 1D 及对应关系
  

• 人脸数据降维

• 原始数据
  

• 可视化部分 U 矩阵信息

  

• 恢复数据
  

9、使用 scikit-learn 库中的 PCA 实现降维

• 导入需要的包：

# -*- coding: utf-8 -*-
# Author:bob
# Date:2016.12.22
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy import io as spio
from sklearn.decomposition import pca
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

• 归一化数据

    '''归一化数据并作图'''
    scaler = StandardScaler()
    scaler.fit(X)
    x_train = scaler.transform(X)

• 使用 PCA 模型拟合数据，并降维
• n_components 对应要将的维度

    '''拟合数据'''
    K=1 # 要降的维度
    model = pca.PCA(n_components=K).fit(x_train)   # 拟合数据，n_components定义要降的维度
    Z = model.transform(x_train)    # transform就会执行降维操作

• 数据恢复
• model.components_ 会得到降维使用的 U 矩阵

    '''数据恢复并作图'''
    Ureduce = model.components_     # 得到降维用的Ureduce
    x_rec = np.dot(Z,Ureduce)       # 数据恢复

---

七、异常检测 Anomaly Detection

• 全部代码

1、高斯分布（正态分布）Gaussian distribution

• 其中，u 为数据的均值，σ 为数据的标准差
• σ 越小，对应的图像越尖

2、异常检测算法

• 例子
• 计算 p(x),若是 P(x)<ε 则认为异常，其中 ε 为我们要求的概率的临界值 threshold
• 这里只是单元高斯分布，假设了 feature 之间是独立的，下面会讲到多元高斯分布，会自动捕捉到 feature 之间的关系
• 参数估计实现代码

# 参数估计函数（就是求均值和方差）
def estimateGaussian(X):
    m,n = X.shape
    mu = np.zeros((n,1))
    sigma2 = np.zeros((n,1))
    
    mu = np.mean(X, axis=0) # axis=0表示列，每列的均值
    sigma2 = np.var(X,axis=0) # 求每列的方差
    return mu,sigma2

3、评价 p(x) 的好坏，以及 ε 的选取

• 对偏斜数据的错误度量
• 因为数据可能是非常偏斜的（就是 y=1 的个数非常少，(y=1 表示异常)），所以可以使用 Precision/Recall，计算 F1Score(在 CV 交叉验证集上)
• 例如：预测癌症，假设模型可以得到 99% 能够预测正确，1% 的错误率，但是实际癌症的概率很小，只有 0.5%，那么我们始终预测没有癌症 y=0 反而可以得到更小的错误率。使用 error rate 来评估就不科学了。
• 如下图记录：
  
• 还是以癌症预测为例，假设预测都是 no-cancer，TN=199，FN=1，TP=0，FP=0，所以：Precision=0/0，Recall=0/1=0，尽管 accuracy=199/200=99.5%，但是不可信。
• ε 的选取
• 尝试多个 ε 值，使 F1Score 的值高
• 实现代码

# 选择最优的epsilon，即：使F1Score最大    
def selectThreshold(yval,pval):
    '''初始化所需变量'''
    bestEpsilon = 0.
    bestF1 = 0.
    F1 = 0.
    step = (np.max(pval)-np.min(pval))/1000
    '''计算'''
    for epsilon in np.arange(np.min(pval),np.max(pval),step):
        cvPrecision = pval bestF1:  # 修改最优的F1 Score
            bestF1 = F1
            bestEpsilon = epsilon
    return bestEpsilon,bestF1

4、选择使用什么样的 feature（单元高斯分布）

• 如果一些数据不是满足高斯分布的，可以变化一下数据，例如 log(x+C),x^(1/2) 等
• 如果 p(x) 的值无论异常与否都很大，可以尝试组合多个 feature,(因为 feature 之间可能是有关系的)

5、多元高斯分布

• 单元高斯分布存在的问题

• 如下图，红色的点为异常点，其他的都是正常点（比如 CPU 和 memory 的变化）
  

• x1 对应的高斯分布如下：
  

• x2 对应的高斯分布如下：
  

• 可以看出对应的 p(x1)和 p(x2)的值变化并不大，就不会认为异常

• 因为我们认为 feature 之间是相互独立的，所以如上图是以正圆的方式扩展

• 例如：

  表示 x1,x2 正相关，即 x1 越大，x2 也就越大，如下图，也就可以将红色的异常点检查出了
  
  若：
  
  表示 x1,x2 负相关

• 实现代码：

# 多元高斯分布函数    
def multivariateGaussian(X,mu,Sigma2):
    k = len(mu)
    if (Sigma2.shape[0]>1):
        Sigma2 = np.diag(Sigma2)
    '''多元高斯分布函数'''    
    X = X-mu
    argu = (2*np.pi)**(-k/2)*np.linalg.det(Sigma2)**(-0.5)
    p = argu*np.exp(-0.5*np.sum(np.dot(X,np.linalg.inv(Sigma2))*X,axis=1))  # axis表示每行
    return p

6、单元和多元高斯分布特点

• 单元高斯分布
• 人为可以捕捉到 feature 之间的关系时可以使用
• 计算量小
• 多元高斯分布
• 自动捕捉到相关的 feature
• m>n 或 Σ 可逆时可以使用。（若不可逆，可能有冗余的 x，因为线性相关，不可逆，或者就是 m

7、程序运行结果

• 显示数据
  
• 等高线
  
• 异常点标注