C语言每日一练——第105天：杨辉三角形

前言

Wassup guys，我是Edison

今天是C语言每日一练，第105天！

Let’s get it！

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1. 题目描述

杨辉三角形

解题之前，我们先来了解一下杨辉三角形到底是什么？

杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形，它的排列形如三角形。
 
因为首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名，而书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算书》，故又名贾宪三角形。
 
古代波斯数学家欧玛尔·海亚姆也描述过这个三角形。在欧洲，因为法国数学家布莱兹‧帕斯卡在1653年的《论算术三角》中首次完整论述了这个三角形，故也被称作帕斯卡三角(Pascal’s triangle)。
 
杨辉三角的前10行写出来如下

2. 解题思路

其实规律很简单，我们来看一看

在最上面一行的中央写下数字 1；
 
第二行，写下两个1，和上一行形成三角形；
 
随后的每一行，开头和最后的数字都是1，其他的每个数都是它左上方和右上方的数之和，就是说除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和。

3. 动图演示

4. 代码实现

我们通过动图可以得出以下结论

1、两边都是数字1；
 
2、从第三行开始，除了两边的数字1之外的数字都是由 “肩膀上” 的数字相加得到的。
 
对于算法不太熟悉的朋友，如果直接去打印，可能就比较困难，所以我们不妨拆开几步来做。

Step1

1、定义一个9行9列的二维整型数组；
 
2、数组所有元素都赋值为1；
 
3、输出数组所有元素

#include 

int main()
{
    //定义一个9行9列的二维整型数组
    int data[9][9];

    int i = 0;
    int j = 0;

    for (i = 0; i < 9; i++)
    {
        for (j = 0; j < 9; j++)
        {
            //数组所有元素都赋值为1
            data[i][j] = 1;
        }
    }

    //输出数组所有元素
    for (i = 0; i < 9; i++)
    {
         for (j = 0; j < 9; j++)
         {
             printf("%6d", data[i][j]);
         }
         printf("\n");
    }
    return 0;
}

我们输出看一下

但是我们只需要左下角的数字

所以对第二个for循环进行修改，让j <= i；

#include 

int main()
{
    //定义一个9行9列的二维整型数组
    int data[9][9];

    int i = 0;
    int j = 0;

    for (i = 0; i < 9; i++)
    {
        for (j = 0; j < 9; j++)
        {
            //数组所有元素都赋值为1
            data[i][j] = 1;
        }
    }

    //输出数组所有元素
    for (i = 0; i < 9; i++)
    {
    	//修改j <= i
         for (j = 0; j <= i; j++)
         {
             printf("%6d", data[i][j]);
         }
         printf("\n");
    }
    return 0;
}

运行看一看

Step2

中间位置的数字是由它上一行对应位置的数字以及上一行对应位置左侧的数字相加得到；
 
因为下一行的情况总需要由上一行的情况推出，即我们需要记录每一行的结果。
 
所以构建杨辉三角本质上是一个动态规划问题，我们可以总结出如下推导式：
 
$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j]$
 
其中，dp[i][j]表示第i行的第j个数。

#include 

int main()
{
    //定义一个9行9列的二维整型数组
    int data[9][9];

    int i = 0;
    int j = 0;

    for (i = 0; i < 9; i++)
    {
        for (j = 0; j < 9; j++)
        {
            //数组所有元素都赋值为1
            data[i][j] = 1;
        }
    }

    //dp
    for (i = 1; i < 9; i++)
    {
        for (j = 1; j < i; j++)
        {
            data[i][j] = data[i-1][j] + data[i-1][j-1];
        }
    }

    //输出数组所有元素
    for (i = 0; i < 9; i++)
    {
         for (j = 0; j <= i; j++)
         {
             printf("%6d", data[i][j]);
         }
         printf("\n");
    }
    return 0;
}

运行结果

居中显示

我们如何让杨辉三角形居中显示呢？

就像这样

很简单，代码如下

        for (int k = 0; k < 26 - (6 * i / 2); k++)
        {
            printf(" ");
        }

这是什么意思呢？

1、每行前输出不等的空格；
 
2、为何i / 2？因为：居中只需左边加空格；
 
3、为何要乘6？因为：输出时用%6d；
 
4、为何要用26减？因为：不大不小刚刚好

5. 完整代码

代码示例

#include 

int main()
{
    //定义一个9行9列的二维整型数组
    int data[9][9];

    int i = 0;
    int j = 0;

    for (i = 0; i < 9; i++)
    {
        for (j = 0; j < 9; j++)
        {
            //数组所有元素都赋值为1
            data[i][j] = 1;
        }
    }

    //dp
    for (i = 1; i < 9; i++)
    {
        for (j = 1; j < i; j++)
        {
            data[i][j] = data[i - 1][j] + data[i - 1][j - 1];
        }
    }

    //输出数组所有元素
    for (i = 0; i < 9; i++)
    {
    	//用三角形的方式打印
        for (int k = 0; k < 26 - (6 * i / 2); k++)
        {
            printf(" ");
        }

        for (j = 0; j <= i; j++)
        {
            printf("%6d", data[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

6. 特性总结

杨辉三角的美妙之处在于：它是如此足够简单，但本身在数学上却拥有丰富的魅力。
 
这是数学中的最令人称奇的事物之一，随便取诸多数学性质中的某个，就能表明它是多么的精彩绝伦。
 
比如：隐藏数列、完全平方数、斐波那契数列、谢尔宾斯基三角、组合数学、二项式定理等等，这些都都可以在杨辉三角形中找到，你发现了吗？