【OpenCV 完整例程】80. 频率域图像滤波详细步骤

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3. 频率域低通滤波器

3.2 频率域图像滤波的步骤

上节例程中通过一个简单的低通滤波遮罩 mask 与图像傅里叶变换 dftShift 相乘，使傅里叶变换的高频部分为 0，从而屏蔽原始图像中高频信号，实现了低通滤波。

频率域图像滤波，首先对原图像 $f(x,y)$ 经傅里叶变换为 $F(u,v)$，然后用适当的滤波器函数 $H(u,v)$ 对傅里叶变换 $F(u,v)$ 的频谱成分进行修改，最后通过傅里叶逆变换（IDFT）返回空间域，得到增强的图像 $g(x,y)$。

$$f(x,y)\stackrel{DFT}{}F(u,v)\underset{滤波}{\overset{H(u,v)}{}}G(u,v)\stackrel{IDFT}{}g(x,y)$$

频率域图像滤波的基本步骤如下：

（1）对原始图像 $f(x,y)$ 进行傅里叶变换，得到 $F(u,v)$；
（2）将图像的傅里叶变换 $F(u,v)$ 与传递函数 $H(u,v)$ 进行卷积运算，得到滤波后的频谱 $G(u,v)$；
（3）对 $G(u,v)$ 进行傅里叶逆变换，得到增强图像 $g(x,y)$。

在本节中，给出更加详细的频率域图像滤波的步骤：
（1）读取原始图像
（2）中心化，centralized 2d array：$f(x,y)\ast (-1{)}^{(x+y)}$
（3）快速傅里叶变换
（4）构建低通滤波器 传递函数
（5）在频率域修改傅里叶变换
（6）对低通傅里叶变换 执行傅里叶逆变换
（7）中心化，centralized 2d array：$g(x,y)\ast (-1{)}^{(x+y)}$
（8）截取左上角，大小和输入图像相等

例程 8.16：频率域图像滤波的一般步骤（理想低通滤波器）

# OpenCVdemo08.py
# Demo08 of OpenCV
# 8. 图像的频率域滤波
# Copyright 2021 Youcans, XUPT
# Crated：2021-12-15

    # 8.16：频率域图像滤波的一般步骤 (本例对应于 张平 OpenCV算法精解 P383 低通滤波的 Python 实现)
    # (1) 读取原始图像
    # imgGray = cv2.imread("../images/imgLena.tif", flags=0)  # flags=0 读取为灰度图像
    imgGray = cv2.imread("../images/Fig0431.tif", flags=0)  # flags=0 读取为灰度图像
    imgFloat32 = np.float32(imgGray)  # 将图像转换成 float32
    rows, cols = imgGray.shape[:2]  # 图片的高度和宽度

    fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.subplot(241), plt.axis('off'), plt.title("Origin image")
    plt.imshow(imgGray, cmap='gray')

    # (2) 中心化, centralized 2d array f(x,y) * (-1)^(x+y)
    mask = np.ones(imgGray.shape)
    mask[1::2, ::2] = -1
    mask[::2, 1::2] = -1
    fImage = imgFloat32 * mask  # f(x,y) * (-1)^(x+y)
    plt.subplot(242), plt.axis('off'), plt.title("f(x,y)*(-1)^(x+y)")
    plt.imshow(fImage, cmap='gray')

    # (3) 快速傅里叶变换
    rPadded = cv2.getOptimalDFTSize(rows)  # 最优 DFT 扩充尺寸
    cPadded = cv2.getOptimalDFTSize(cols)  # 用于快速傅里叶变换
    dftImage = np.zeros((rPadded, cPadded, 2), np.float32)  # 对原始图像进行边缘扩充
    dftImage[:rows, :cols, 0] = fImage  # 边缘扩充，下侧和右侧补0
    cv2.dft(dftImage, dftImage, cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)  # 快速傅里叶变换

    dftAmp = cv2.magnitude(dftImage[:,:,0], dftImage[:,:,1])  # 傅里叶变换的幅度谱 (rPad, cPad)
    dftAmpLog = np.log(1.0 + dftAmp)  # 幅度谱对数变换，以便于显示
    dftAmpNorm = np.uint8(cv2.normalize(dftAmpLog, None, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX))  # 归一化为 [0,255]
    plt.subplot(243), plt.axis('off'), plt.title("DFT spectrum")
    plt.imshow(dftAmpNorm, cmap='gray')

    # (4) 构建低通滤波器 传递函数
    # 找到傅里叶谱最大值的位置
    minValue, maxValue, minLoc, maxLoc = cv2.minMaxLoc(dftAmp)
    rPadded, cPadded = dftImage.shape[:2]  # 快速傅里叶变换的尺寸, 原始图像尺寸优化
    u, v = np.mgrid[0:rPadded:1, 0:cPadded:1]
    Dsquare = np.power((u-maxLoc[1]), 2.0) + np.power((v-maxLoc[0]), 2.0)
    D0 = 50  # radius
    D = np.sqrt(Dsquare)
    lpFilter = np.zeros(dftImage.shape[:2], np.float32)
    lpFilter[D <= D0] = 1  # 理想低通滤波 (Idea low pass filter)
    plt.subplot(244), plt.axis('off'), plt.title("LP Filter")
    plt.imshow(lpFilter, cmap='gray')

    # (5) 在频率域修改傅里叶变换: 傅里叶变换 点乘 低通滤波器
    # rPadded, cPadded = dftImage.shape[:2]  # 快速傅里叶变换的尺寸, 原始图像尺寸优化
    dftLPfilter = np.zeros(dftImage.shape, dftImage.dtype)  # 快速傅里叶变换的尺寸(优化尺寸)
    for i in range(2):
        dftLPfilter[:rPadded, :cPadded, i] = dftImage[:rPadded, :cPadded, i] * lpFilter

    # 低通傅里叶变换的傅里叶谱
    lpDftAmp = cv2.magnitude(dftLPfilter[:, :, 0], dftLPfilter[:, :, 1])  # 傅里叶变换的幅度谱
    lpDftAmpLog = np.log(1.0 + lpDftAmp)  # 幅度谱对数变换，以便于显示
    lpDftAmpNorm = np.uint8(cv2.normalize(lpDftAmpLog, None, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX))  # 归一化为 [0,255]
    plt.subplot(245), plt.axis('off'), plt.title("lpfDft Spectrum")
    plt.imshow(lpDftAmpNorm, cmap='gray')

    # (6) 对低通傅里叶变换 执行傅里叶逆变换，并只取实部
    idft = np.zeros(dftAmp.shape, np.float32)  # 快速傅里叶变换的尺寸(优化尺寸)
    cv2.dft(dftLPfilter, idft, cv2.DFT_REAL_OUTPUT + cv2.DFT_INVERSE + cv2.DFT_SCALE)
    plt.subplot(246), plt.axis('off'), plt.title("IDFT Spectrum")
    plt.imshow(idft, cmap='gray')

    # (7) 中心化, centralized 2d array g(x,y) * (-1)^(x+y)
    mask2 = np.ones(dftAmp.shape)
    mask2[1::2, ::2] = -1
    mask2[::2, 1::2] = -1
    idftCen = idft * mask2  # g(x,y) * (-1)^(x+y)
    plt.subplot(247), plt.axis('off'), plt.title("g(x,y)*(-1)^(x+y)")
    plt.imshow(idftCen, cmap='gray')

    # (8) 截取左上角，大小和输入图像相等
    result = np.clip(idftCen, 0, 255)  # 截断函数，将数值限制在 [0,255]
    lpResult = result.astype(np.uint8)
    lpResult = lpResult[:rows, :cols]

    plt.subplot(248), plt.axis('off'), plt.title("DFT filtered")
    plt.imshow(lpResult, cmap='gray')
    plt.tight_layout()
    plt.show()

    print("image.shape:{}".format(imgGray.shape))
    print("imgFloat32.shape:{}".format(imgFloat32.shape))
    print("dftImage.shape:{}".format(dftImage.shape))
    print("dftAmp.shape:{}".format(dftAmp.shape))
    print("idft.shape:{}".format(idft.shape))
    print("lpFilter.shape:{}".format(lpFilter.shape))
    print("result.shape:{}".format(result.shape))

程序说明：

（1）使用 cv2.getOptimalDFTSize() 获得快速傅里叶变换的优化尺寸，对原始图像进行了边缘扩充和补 0 填充，因此与原始图像尺寸不一定相同。频域滤波后截取左上角，得到与原始图像大小一致的滤波图像。
（2）注意滤波器的尺寸要与（快速）傅里叶变换的尺寸相同，与原始图像的大小不一定相同。

（本节完）

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