【OpenCV 完整例程】82. 频率域巴特沃斯低通滤波器

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3.4 频率域巴特沃斯低通滤波器（BLPF）

截止频率位于距频率中心 $D_0$ 处的 n 阶巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器的传递函数为：
$$H(u,v)=\frac{1}{1+[D(u,v)/D_0{]}^{2n}}$$

当 n 较大时，巴特沃斯低通滤波器 BLPF 可以逼近理想低通滤波器 ILPF 的特性；而当 n 较小时，巴特沃斯低通滤波器 BLPF 可以逼近高斯低通滤波器 GLPF 的特性，同时提供从低频到高频的平滑过渡。

巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。

在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐步减小，趋向负无穷大。巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。

例程 8.19：频率域巴特沃斯低通滤波器 (BLPF)

# OpenCVdemo08.py
# Demo08 of OpenCV
# 8. 图像的频率域滤波
# Copyright 2021 Youcans, XUPT
# Crated：2021-12-15
   
    # 8.19：频率域巴特沃斯低通滤波器 (BLPF)
    # (1) 读取原始图像
    # imgGray = cv2.imread("../images/imgLena.tif", flags=0)  # flags=0 读取为灰度图像
    imgGray = cv2.imread("../images/Fig0431.tif", flags=0)  # flags=0 读取为灰度图像
    imgFloat32 = np.float32(imgGray)  # 将图像转换成 float32
    rows, cols = imgGray.shape[:2]  # 图片的高度和宽度

    # (2) 中心化, centralized 2d array f(x,y) * (-1)^(x+y)
    mask = np.ones(imgGray.shape)
    mask[1::2, ::2] = -1
    mask[::2, 1::2] = -1
    fImage = imgFloat32 * mask  # f(x,y) * (-1)^(x+y)

    # (3) 快速傅里叶变换
    # dftImage = fft2Image(fImage)  # 快速傅里叶变换 (rPad, cPad, 2)
    rPadded = cv2.getOptimalDFTSize(rows)  # 最优 DFT 扩充尺寸
    cPadded = cv2.getOptimalDFTSize(cols)  # 用于快速傅里叶变换
    dftImage = np.zeros((rPadded, cPadded, 2), np.float32)  # 对原始图像进行边缘扩充
    dftImage[:rows, :cols, 0] = fImage  # 边缘扩充，下侧和右侧补0
    cv2.dft(dftImage, dftImage, cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)  # 快速傅里叶变换

    dftAmp = cv2.magnitude(dftImage[:,:,0], dftImage[:,:,1])  # 傅里叶变换的幅度谱 (rPad, cPad)
    dftAmpLog = np.log(1.0 + dftAmp)  # 幅度谱对数变换，以便于显示
    dftAmpNorm = np.uint8(cv2.normalize(dftAmpLog, None, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX))  # 归一化为 [0,255]
    minValue, maxValue, minLoc, maxLoc = cv2.minMaxLoc(dftAmp)  # 找到傅里叶谱最大值的位置

    plt.figure(figsize=(9, 6))
    # rows, cols = imgGray.shape[:2]  # 图片的高度和宽度
    u, v = np.mgrid[0:rPadded:1, 0:cPadded:1]
    D = np.sqrt(np.power((u-maxLoc[1]), 2) + np.power((v-maxLoc[0]), 2))
    D0 = [20, 40, 80]  # cut-off frequency
    n = 2
    for k in range(3):
        # (4) 构建低通滤波器 传递函数
        # 巴特沃斯低通滤波 (Butterworth low pass filter)
        epsilon = 1e-8  # 防止被 0 除
        lpFilter = 1.0 / (1.0 + np.power(D / (D0[k] + epsilon), 2*n))

        # (5) 在频率域修改傅里叶变换: 傅里叶变换 点乘 低通滤波器
        dftLPfilter = np.zeros(dftImage.shape, dftImage.dtype)  # 快速傅里叶变换的尺寸(优化尺寸)
        for j in range(2):
            dftLPfilter[:rPadded, :cPadded, j] = dftImage[:rPadded, :cPadded, j] * lpFilter

        # (6) 对低通傅里叶变换 执行傅里叶逆变换，并只取实部
        idft = np.zeros(dftAmp.shape, np.float32)  # 快速傅里叶变换的尺寸(优化尺寸)
        cv2.dft(dftLPfilter, idft, cv2.DFT_REAL_OUTPUT + cv2.DFT_INVERSE + cv2.DFT_SCALE)

        # (7) 中心化, centralized 2d array g(x,y) * (-1)^(x+y)
        mask2 = np.ones(dftAmp.shape)
        mask2[1::2, ::2] = -1
        mask2[::2, 1::2] = -1
        idftCen = idft * mask2  # g(x,y) * (-1)^(x+y)

        # (8) 截取左上角，大小和输入图像相等
        result = np.clip(idftCen, 0, 255)  # 截断函数，将数值限制在 [0,255]
        imgBLPF = result.astype(np.uint8)
        imgBLPF = imgBLPF[:rows, :cols]

        plt.subplot(2,3,k+1), plt.title("BLPF mask(D0={})".format(D0[k])), plt.axis('off')
        plt.imshow(lpFilter[:,:], cmap='gray')
        plt.subplot(2,3,k+4), plt.title("BLPF rebuild(D0={})".format(D0[k])), plt.axis('off')
        plt.imshow(imgBLPF, cmap='gray')

    plt.tight_layout()
    plt.show()

（本节完）

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