Jensen不等式讲解与证明

琴生不等式，是由丹麦数学家约翰•延森（Johan Jensen）命名，也成为Jensen不等式或者詹森不等式。码字不易，喜欢请点赞，谢谢！！！有问题随时欢迎交流。

首先，对于如凸函数$f(x)$，对任意$0<=\alpha <=1$，有如下不等式成立：
$$\alpha f(x)+(1-\alpha )f(y)>=f(\alpha x+(1-\alpha )y)$$
如下图所示。

现在我们证明对于凸函数$f(x)$来说，对任意${\lambda }_j>=0$，并且有${\sum }_{j=1}^J{\lambda }_j=1$，如下不等式成立：
$$\sum _{j=1}^J{\lambda }_{j}f(x_j)>=f(\sum _{j=1}^J{\lambda }_j{x}_j)$$
上面这个不等式就是著名的Jensen不等式。

证明：下面是Jensen不等式的证明
（1）首先对于$J=1$，很明显不等式成立；
（2）对于$J=2$，由上面的凸函数图可知，${\lambda }_{1}f(x_1)+{\lambda }_{2}f(x_2)>=f({\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2)$，不等式成立；
（3）假设当$J=n$时，不等式成立，即${\sum }_{j=1}^n{\lambda }_{j}f(x_j)>=f({\sum }_{j=1}^n{\lambda }_j{x}_j)$
下面证明$J=n+1$时不等式成立即可：
$$\begin{array}{rl}\sum _{j=1}^{n+1}{\lambda }_{j}f(x_j)=& {\lambda }_{n+1}f(x_{n+1})+\sum _{j=1}^n{\lambda }_{j}f(x_j)\\ & ={\lambda }_{n+1}f(x_{n+1})+(1-{\lambda }_{n+1})\sum _{j=1}^n\frac{{\lambda }_j}{1-{\lambda }_{n+1}}f(x_j)\\ & >={\lambda }_{n+1}f(x_{n+1})+(1-{\lambda }_{n+1})f(\sum _{j=1}^n\frac{{\lambda }_j}{1-{\lambda }_{n+1}}{x}_j)\\ & >=f({\lambda }_{n+1}{x}_{n+1}+(1-{\lambda }_{n+1})\sum _{j=1}^n\frac{{\lambda }_j}{1-{\lambda }_{n+1}}{x}_j)\\ & =f({\lambda }_{n+1}{x}_{n+1}+\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{x}_j)\\ & =f(\sum _{j=1}^{n+1}{\lambda }_j{x}_j)\end{array}$$
因此，当$J=n+1$时，不等式成立。

通过上面三步的即证明了Jensen不等式成立。

同样可以证明：对于凹函数$f(x)$来说，对任意${\lambda }_j>=0$，并且有${\sum }_{j=1}^J{\lambda }_j=1$，如下不等式成立：
$$\sum _{j=1}^J{\lambda }_{j}f(x_j)<=f(\sum _{j=1}^J{\lambda }_j{x}_j)$$