手搓积分验证大数定律和中心极限定理

关于大数定律的一种程序验证方式，请参考博客

辛钦大数定律的Python实践_tugouxp的专栏-CSDN博客

本文通过计算，来实际验证一把独立同分布的符合均匀分布的多个变量

的加和的分布情况，来直观上体验中心极限定理所说明的规律。

中心极限定理指出，任何随机分布当样本足够大时，都会逼近正态分布。

假设符合均匀分布，记为

概率密度函数为

此概率密度函数图形即如下图所示：

的概率密度分布函数

当z<=0的时候，f(x)和f(z-x)如下所示：

所以，f(x)f(z-x)乘积为0，积分也为0。

当z>0&&z<1的时候，图形为：

 所以

当z>1&&z<2的时候,图形如下：

当z>2的时候：

f(x)f(z-x)乘积为0，所以，积分也为0。

所以，的概率密度函数为：

图形为：

相比较单个变量的平均分布概率密度曲线，两个变量和的联合概率分布密度曲线是不是更接近正态分布了？

下面计算一下 的联合概率密度曲线，它会更接近正态分布,同样道理，将之前那计算的看成一个随机变量，它和符合独立同分布，仍然可以按照如上两个随机变量的积分进行处理。

当z<=0的时候，f(x)和f(z-x)如下所示：

 所以，f(x)f(z-x)乘积为0，积分也为0。

当z>0&&z<1的时候，图形为：

当z>1&&z<2的时候，图形为：

z>2&&z<3的时候：

z>3的时候，积分值为0

所以，函数图形和解析式如下所示,性感的钟形曲线现身了：

可以看到 更加接近正态分布了。所以从直观上我们能够理解，独立同分布的任何随机变量，只要样本数更多，他们的加合都会符合正态分布了，从形式上看，大数定律是很符合直觉的。如果继续计算下去，这个图形将会越来越接近正态分布，直到最后，当样本数量足够的时候，完全符合正态分布。

拐点，从理论上可以证明，正态分布存在两个拐点，分别在中心对称轴左右两侧，同样的道理，上面得到的解析式也存在两个拐点，分别是x=1和x=2对应，在这方面也和正态分布相似。

另外，从以上三个图形的均值我们可以发现一个规律，对于n个独立同分布的X加和来说，假设X的均值是u,那n个变量的加和的均值将会是n*u,比如，上图中均值分别是0.5,1,1.5.

总结

辛钦大数定律给出了随机变量平均值的渐近性质，但是并没有给出它的分布情况，我们知道在实际当中用的最多的分布就是正态分布了，但是也有很多随机变量本身不服从正态分布，比如均匀分布，指数分布等等，但是无论随机变量原本的分布状态是怎样的，随着抽样样本数目的增加，平均分布的概率密度曲线会越来越接近于正态分布。上面的例子，我们只算到了N=3的时候，概率密度曲线就已经和原来的形状出现了巨大的差异了。

均匀分布的随机变量有这样的性质，那么其它的分布是不是也是这样呢？答案是肯定的，无论原分布咋样，经过大样本抽样后，样本均值都会逐渐趋于正态分布,样本和和样本均值遵守完全相同的趋势。

---

结束！