假如黎曼猜想恰好落入哥德尔之网

  出于恶趣味，数学爱好者会怀疑：像黎曼猜想和P对NP这样的千禧年难题，是无法从我们所用的公理体系证明或推翻的，所以才迟迟未得解决。哥德尔著名的不完备性定理告诉我们，这种可能性确实存在。然而，当这种提法出现在严肃的学术论文中时，你就应该怀疑作者是否真的理解他在说什么了。特别地，Atiyah爵士最近号称已经解决黎曼猜想的论文第五节中“一般意义上的黎曼猜想……可能是哥德尔意义上不可判定的”，就应该被看做这位伟人根本不在正常状态的标志之一。

  对于某些影响重大的命题，证明它的独立性（约等于Atiyah所用的“不可判定”）其实跟解决它几乎没有区别。举一个生活中的例子，假如我问你“这两顶帽子颜色是否相同”，你回答说“我无法判断”，那这就说明两顶帽子的颜色几乎是相同的，不然的话你就应该直接做出否定的回答。在上述基础上加上一些限定条件就有可能直接证明两顶帽子是同色的。

  黎曼猜想就是一个这样的命题，存在一个初等函数F（x）使得黎曼猜想能在ZF中被证明等价于“对所有x∈N F（x）=0”。所以，如果猜想为假，就存在自然数x0不满足F（x0）=0，无论x0多大，验证其为反例的步骤都不需要用到任何ZF以外的东西，即：猜想一旦为假就不可能独立于ZF。所以，如果我发现猜想真的是不能用ZF证明的（这当然会用到ZF以外的工具），加上这一段其实就等于证明了黎曼猜想。

   这也就是为什么“因为不完备性无法证明哥德巴赫猜想，数学家们陷入了沮丧中”的虚构场景其实是非常滑稽可笑的，哥德巴赫猜想等一系列数论猜想都有相同的性质，所以其独立的可能性根本不会导致证明或推翻以外的东西。而这也使得它不值得单独作为一种原命题可能的未来被提出来。