浅谈LCA的在线算法ST表

求LCA（最近公共祖先）的算法有好多，按在线和离线分为在线算法和离线算法。

离线算法有基于搜索的Tarjan算法比较好，而在线算法则是基于dp的ST算法比较好。

这次先讲一下ST算法。

这个算法是基于RMQ（区间最大最小值编号）的，而求LCA就是把树通过深搜得到一个序列，然后转化为求区间的最小编号。

比如说给出这样一棵树。

通过深搜可以得到这样一个序列：
节点ver： 1 2 1 3 4 3 5 6 5 7（左到右）
深度  R ： 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 
首位first：1 2 4 5 7 8 10   （即这个数第一次出现的位置）

或者这样：

那么就可以这样写深搜代码：

int tot,head[N],ver[2*N],R[2*N],first[N],dir[N];
//ver:节点编号 R：深度 first：点编号第一次位置 dir：距离
void dfs(int u ,int dep)
{
       vis[u] = true; 
	ver[++tot] = u;
	first[u] = tot;
	R[tot] = dep;
    for(int k=head[u]; k!=-1; k=e[k].next)
        if( !vis[e[k].v] )
        {
            int v = e[k].v , w = e[k].w;
            dir[v] = dir[u] + w;
            dfs(v,dep+1);
            //下面两句表示dfs的时候还要回溯到上面
            ver[++tot] = u; 
			R[tot] = dep;
        }
}

搜索得到序列之后假如我们想求4 和7的 LCA。（最丑那幅图。。。）
那么我们找4和7在序列中的位置通过first 数组查找发现在5---10的ver数组的范围
即4 3 5 6 5 7 在上面图上找发现正好是以3为根的子树。而我们只要找到其中一个深度最小的编号即 3 就可以了。
这时候我们就用到了RMQ算法。
维护一个dp数组保存其区间深度最小的下标，查找的时候返回就可以了。
比如上面我们找到深度最小的为点3，返回其在ver数组中的下标 6 即可。
代码可以这样写：

void ST(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dp[i][0] = i;
    for(int j=1;(1< y) swap(x,y);
    int res = RMQ(x,y);
    return ver[res];
}