【Java数据结构与算法】递归与回溯法 包含迷宫回溯，八皇后问题，详细分析了回溯的实现，还有如何判断数组斜方的操作
递归
- 一、递归的概念与调用机制
-
- 1.打印问题
- 2.阶乘问题
- 二、递归需要遵守的重要规则
- 三、递归-迷宫问题
- 四、八皇后问题(回溯算法)
-
- 解决思路
- 上代码
- 分析与总结
一、递归的概念与调用机制
简单的说: 递归就是方法自己调用自己,每次调用时传入不同的变量.递归有助于编程者解决复杂的问题,同时可以让代码变得简洁。
我列举两个小案例：
1.打印问题
test(4)
///
public static void test(int n) {
if (n > 2) {
test(n - 1);
}
System.out.println("n=" + n);
}
内存分析：
输出结果：
递归调用规则：
- 当程序执行到一个方法时，就会开辟一个独立的空间(栈)
- 每个空间的数据(局部变量)，是独立的.
分析： 这里为什么会先输出 n = 2？
递归的底层机制是栈，每次递归都会形成一个栈，当最后一个递归栈执行完之后，就会退出返回上一个递归栈。而当程序在一步步进行递归时，如果递归方法中有其他语句，那就先不会执行，而是把递归执行到最后一个递归栈，然后最后一个递归栈执行完之后，才会开始执行递归中的其他语句，然后一步步退回上层递归，同时执行上层递归的另一个语句。比如这里在进行递归时，就会执行test(n - 1)这个语句，System.out.println(“n=” + n)这个语句就先不会执行，当最后一个递归栈判断if (n > 2)为false时，退出递归，然后开始执行方法System.out.println(“n=” + n)，随即输出n = 2，然后返回上一层递归，接着执行System.out.println(“n=” + n)方法，输出n = 3.
因此在这段语句中，n初始值为4的话，输出顺序是 2 3 4，因为是把最底层的递归的语句先输出，也就是2，然后在一步步退回上层递归输出语句
另外假设我们在代码上加入else也就是这样
test(4)
///
public static void test(int n) {
if (n > 2) {
test(n - 1);
}else
System.out.println("n=" + n);
}
那么输出结果将会是 ===》n = 2
不会再出现其他数字，这里是因为对于最后一个栈来说n > 2不成立，并不会再进行递归，然后执行else语句，也就是会输出n = 2，然后再返回上一个递归，但是对于上一个递归来说，因为满足if (n > 2)条件，所以并不会执行else语句，所以最终整个代码就只会输出n = 2.
2.阶乘问题
//阶乘
public static int factorial(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
} else {
return factorial(n - 1) * n;
}
}
二、递归需要遵守的重要规则
- 执行一个方法时，就创建一个新的受保护的独立空间(栈空间)
- 方法的局部变量是独立的，不会相互影响, 比如n变量
- 如果方法中使用的是引用类型变量(比如数组)，就会共享该引用类型的数据.
- 递归必须向退出递归的条件逼近，否则就是无限递归,出现StackOverflowError，死龟了:)
- 当一个方法执行完毕，或者遇到return，就会返回，遵守谁调用，就将结果返回给谁，同时当方法执行完毕或者返回时，该方法也就执行完毕。
三、递归-迷宫问题
说明:
小球得到的路径，和程序员设置的找路策略有关即：找路的上下左右的顺序相关
再得到小球路径时，可以先使用(下右上左)，再改成(上右下左)，看看路径是不是有变化
测试回溯现象
使用递归回溯来给小球找路
说明
1. map 表示地图
2. i,j 表示从地图的哪个位置开始出发 (1,1)
3. 如果小球能到 map[6][5] 位置，则说明通路找到.
4. 约定： 当map[i][j] 为 0 表示该点没有走过 当为 1 表示墙 ； 2 表示通路可以走 ； 3 表示该点已经走过，但是走不通
5. 在走迷宫时，需要确定一个策略(方法) 下->右->上->左 , 如果该点走不通，再回溯
public class MiGong {
public static void main(String[] args) {
// 先创建一个二维数组，模拟迷宫
// 地图
int[][] map = new int[8][7];
// 使用1 表示墙
// 上下全部置为1
for (int i = 0; i < 7; i++) {
map[0][i] = 1;
map[7][i] = 1;
}
// 左右全部置为1
for (int i = 0; i < 8; i++) {
map[i][0] = 1;
map[i][6] = 1;
}
//设置挡板, 1 表示
map[3][1] = 1;
map[3][2] = 1;
// 输出地图
System.out.println("地图的情况");
for (int i = 0; i < 8; i++) {
for (int j = 0; j < 7; j++) {
System.out.print(map[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
//使用递归回溯给小球找路
setWay(map, 1, 1);
//输出新的地图, 小球走过，并标识过的递归
System.out.println("小球走过，并标识过的 地图的情况");
for (int i = 0; i < 8; i++) {
for (int j = 0; j < 7; j++) {
System.out.print(map[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
// 使用递归回溯来给小球找路
// 说明
// 1. map 表示地图
// 2. i,j 表示从地图的哪个位置开始出发 (1,1)
// 3. 如果小球能到 map[6][5] 位置，则说明通路找到.
// 4. 约定： 当map[i][j] 为 0 表示该点没有走过 当为 1 表示墙 ； 2 表示通路可以走 ； 3 表示该点已经走过，但是走不通
// 5. 在走迷宫时，需要确定一个策略(方法) 下->右->上->左 , 如果该点走不通，再回溯
/**
*
* @param map 表示地图
* @param i 从哪个位置开始找
* @param j
* @return 如果找到通路，就返回true, 否则返回false
*/
public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j){
if (map[6][5] == 2){
return true;
}else {
if (map[i][j] == 0){
map[i][j] = 2;
if (setWay(map,i + 1,j)){
return true;
}else if (setWay(map,i ,j+1)){
return true;
}else if (setWay(map,i - 1 ,j)){
return true;
}else if (setWay(map,i ,j-1)){
return true;
}else {
map[i][j] = 3;
return false;
}
}else {
return false;
}
}
}
}
四、八皇后问题(回溯算法)
八皇后问题介绍 ：
八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即：任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。
解决思路
- 第一个皇后先放第一行第一列
- 第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否OK， 如果不OK，继续放在第二列、第三列、依次把所有列都放完，找到一个合适
- 继续第三个皇后，还是第一列、第二列……直到第8个皇后也能放在一个不冲突的位置，算是找到了一个正确解
- 当得到一个正确解时，在栈回退到上一个栈时，就会开始回溯，即将第一个皇后，放到第一列的所有正确解，全部得到.
- 然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行 1,2,3,4的步骤
注意：
理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘，但是实际上可以通过算法，用一个一维数组即可解决问题. arr[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} //对应arr 下标 表示第几行，即第几个皇后，数组的值表示放在哪一列，arr[i] = val , val 表示第i+1个皇后，放在第i+1行的第val+1列，加一是因为数组下标从0开始。
上代码
public class Queue8 {
//定义一个max表示共有多少个皇后
int max = 8;
//定义数组array, 保存皇后放置位置的结果,比如 arr = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
int[] array = new int[max];
public static void main(String[] args) {
//测试一把 ， 8皇后是否正确
Queue8 queue8 = new Queue8();
queue8.check(0);
}
//特别注意： check 是 每一次递归时，进入到check中都有 for(int i = 0; i < max; i++)，因此会有回溯，
// 递归会将本栈的for循环执行完再退回上一层，所以会当第一种正确摆法摆完之后递归代码退回上一层递归时，会执行
// 本层的for循环，一个个试不同的摆法，比如说第一次递归，确定了第一行棋子在第1列，第二行在第5列，第三行的在
// 第8列，第四行的在第6列，第五行的在第3列，第六行的在第7列，第七行的在第2列，第八行的在第4列，然后最后一层
// 递归开始执行本层的for循环，然后发现：当第一行棋子在第1列，第二行在第5列，第三行的在第8列，第四行的在第6
// 列，第五行的在第3列，第六行的在第7列，第七行的在第2列的时候，第八行除了在第4列没有其他摆法了，所以退出了
// for循环，然后进入上一层递归，然后本层递归继续执行for循环，判断有没有其他摆法，就这样一直判断，判断玩之后
// 再退回上一层递归，就形成了回溯。比如说，当回溯到第二层的时候，本层for循环发现0 5 7 2 6 3 1 4，
// 0 6 3 5 7 1 4 2，0 6 4 7 1 3 5 2 也可以，所以就会输出结果再退回上一层。
// 然后第一层就相当于第一个皇后就会往右移动一个格子，然后接着重复上述步骤。
private void check(int n){
if (n == max){//n = 8 , 其实8个皇后就既然放好
print();
return;
}else {
//依次放入皇后，并判断是否冲突
for (int i = 0; i < max; i++) {
//先把当前这个皇后 n , 放到这一行的第i列,i从0开始，其实就是从第一列开始放
array[n] = i;
//判断当放置第n个皇后到i列时，是否冲突
if (judge(n)){
//接着放n+1个皇后,即开始递归
check(n + 1);
}
//如果冲突，就继续执行 array[n] = i; 即将第n个皇后，放置在本行得 后移的一个位置
}
}
}
//查看当我们放置第n个皇后, 就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突
/**
*
* @param n 表示第n个皇后
* @return
*/
private boolean judge(int n){
for (int i = 0; i < n; i++) {
//表示判断第n个皇后是否和第i皇后是否在同一斜线，这里可以使用斜率的思想
//即 k = (y2 - y1) / (x2 - x1),如果是同一斜线，那么k就等于1，那么
//就可以写成(y2 - y1) == (x2 - x1)
if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])){
return false;
}
}
return true;
}
private void print(){
for (int item : array) {
System.out.print(item + " ");
}
System.out.println();
}
}
分析与总结
private void check(int n) {
if(n == max) { //n = 8 , 其实8个皇后就既然放好
print();
return;
}
//依次放入皇后，并判断是否冲突
for(int i = 0; i < max; i++) {
//先把当前这个皇后 n , 放到该行的第1列
array[n] = i;
//判断当放置第n个皇后到i列时，是否冲突
if(judge(n)) { // 不冲突
//接着放n+1个皇后,即开始递归
check(n+1); //
}
//如果冲突，就继续执行 array[n] = i; 即将第n个皇后，放置在本行得 后移的一个位置
}
}
特别注意： check 是 每一次递归时， 进入到check中都有 for(int i = 0; i < max; i++)，因此会有回溯，递归会将本栈的for循环执行完再退回上一层，所以会当第一种正确摆法摆完之后递归代码退回上一层递归时，会执行本层的for循环，一个个试不同的摆法，比如说第一次递归，确定了第一行棋子在第1列，第二行在第5列，第三行的在第8列，第四行的在第6列，第五行的在第3列，第六行的在第7列，第七行的在第2列，第八行的在第4列，然后最后一层递归开始执行本层的for循环，然后发现：当第一行棋子在第1列，第二行在第5列，第三行的在第8列，第四行的在第6列，第五行的在第3列，第六行的在第7列，第七行的在第2列的时候，第八行除了在第4列没有其他摆法了，所以退出了for循环，然后进入上一层递归，然后本层递归继续执行for循环，判断有没有其他摆法，就这样一直判断，判断玩之后再退回上一层递归，就形成了回溯。比如说，当回溯到第二层的时候，本层for循环发现0 5 7 2 6 3 1 4，0 6 3 5 7 1 4 2，0 6 4 7 1 3 5 2 也可以，所以就会输出结果再退回上一层。然后第一层就相当于第一个皇后就会往右移动一个格子，然后接着重复上述步骤。
递归的底层机制是栈，每次递归都会形成一个栈，当最后一个递归栈执行完之后，就会退出返回上一个递归栈，而如果递归方法中有其他语句，那就先不会执行，而是把递归执行到最后一个递归栈，然后最后一个递归栈执行完之后，才会开始执行另一个语句，然后一步步退回上层递归，同时执行上层递归的另一个语句。
public static void test(int n) {
if (n > 2) {
test(n - 1);
}
System.out.println(“n=” + n);
}
因此在这段语句中，n初始值为4的话，输出顺序是 2 3 4，因为是把最底层的递归的语句先输出，也就是2，然后在一步步退回上层递归输出语句。
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if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])){
return false;
}
判断第n个皇后是否和第i皇后是否在同一斜线即 k = (y2 - y1) / (x2 - x1),如果是同一斜线，那么k就等于1，那么就可以写成(y2 - y1) == (x2 - x1)